Uma esfera isolante de raio R possui densidade volumétrica variável dada por: \rho(\mathrm{r})=\mathrm{Kr} / \mathrm{R}, com \mathrm{K}= constante. Utilizando a Lei de Gauss, determine uma expressão para o campo elétrico no interior da esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • A carga está distribuída dentro de uma esfera de raio R.
  • A densidade volumétrica depende da distância radial r ao centro e é dada por \rho(r)=\dfrac{K r}{R}, com K constante.
  • O que o enunciado pede: determinar uma expressão para o campo elétrico no interior da esfera (ou seja, para \,0\le r\le R).
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da esfera: R.
  • Densidade volumétrica: \rho(r)=\dfrac{K r}{R}.
  • Constante física necessária: permissividade do vácuo \varepsilon_0 (aparecerá ao usar a Lei de Gauss).

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar: a Lei de Gauss no vácuo (forma integral). Ela diz que o fluxo elétrico total de \mathbf{E} através de uma superfície fechada S é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico vetorial.
  • d\mathbf{A} é um elemento vetorial de área apontando para fora da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície).
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S.
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Motivação: a distribuição de carga é esfericamente simétrica (a densidade depende só de r), então escolheremos uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r (com r\le R). Isso vai simplificar muito a integral de fluxo porque \mathbf{E} será radial e de mesma magnitude em toda a superfície.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria.
  • Tomamos como superfície gaussiana uma esfera de raio \,r (com 0\le r\le R), centrada no mesmo centro da distribuição.
  • Por simetria esférica, o campo elétrico em pontos dessa superfície é radial e tem mesma magnitude em toda a superfície; escrevemos
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r},
onde E(r) é um escalar (magnitude do campo) e \hat{r} é o versor radial.
  • O fluxo pela superfície é então
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S} \hat{r}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2},
porque \hat{r}\cdot d\mathbf{A}=dA em cada ponto da superfície e a área total da esfera é 4\pi r^{2}.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total dentro da esfera de raio r. Nosso próximo passo é calcular Q_{\text{int}}(r) a partir da densidade dada.

Passo 4

Cálculo da carga total contida dentro do raio r: Q_{\text{int}}(r).
A carga contida num elemento de volume esférico de raio r' e espessura dr' é
dQ=\rho(r')\,dV=\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr'.
Usamos r' como variável de integração para não confundir com o raio fixo da superfície gaussiana r.
Substituindo \rho(r')=\dfrac{K r'}{R}:
dQ=\frac{K r'}{R}\,4\pi r'^{2}dr'=\frac{4\pi K}{R}\,r'^{3}dr'.
A carga total dentro de r é a integral de 0 até r:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} dQ=\int_{0}^{r}\frac{4\pi K}{R}\,r'^{3}dr'.

Passo 5

Resolver a integral para Q_{\text{int}}(r).
Calcule a primitiva de r'^{3}:
\int r'^{3}dr'=\frac{r'^{4}}{4}.
Então
Q_{\text{int}}(r)=\frac{4\pi K}{R}\left[\frac{r'^{4}}{4}\right]_{0}^{r} =\frac{4\pi K}{R}\cdot\frac{r^{4}}{4} =\frac{\pi K r^{4}}{R}.
Portanto a carga contida dentro de uma esfera de raio r é \,Q_{\text{int}}(r)=\dfrac{\pi K r^{4}}{R}.

Passo 6

Voltar à Lei de Gauss e isolar E(r).
A relação da Lei de Gauss que escrevemos era
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}.
Substituindo Q_{\text{int}}(r)=\dfrac{\pi K r^{4}}{R}:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{\pi K r^{4}}{R}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\cdot\frac{\pi K r^{4}}{R\varepsilon_0} =\frac{K r^{2}}{4\varepsilon_0 R}.
Direção do campo: como a carga é positiva se K>0 (ou em geral o sinal de K determina o sentido), o campo é radial. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{K r^{2}}{4\varepsilon_0 R}\,\hat{r}.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\dfrac{K r^{2}}{4\varepsilon_{0}R}\,\hat{r} para 0\le r\le R.

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