Uma esfera isolante de raio R possui densidade volumétrica variável dada por:
, com
constante. Utilizando a Lei de Gauss, determine uma expressão para o campo elétrico no interior da esfera.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- A carga está distribuída dentro de uma esfera de raio
. - A densidade volumétrica depende da distância radial
ao centro e é dada por , com constante. - O que o enunciado pede: determinar uma expressão para o campo elétrico no interior da esfera (ou seja, para
).
Informações relevantes fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica:
. - Constante física necessária: permissividade do vácuo
(aparecerá ao usar a Lei de Gauss).
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar: a Lei de Gauss no vácuo (forma integral). Ela diz que o fluxo elétrico total de
através de uma superfície fechada
é igual à carga total interna dividida por
. Em fórmula:
Explicando cada símbolo:
-
é o campo elétrico vetorial. -
é um elemento vetorial de área apontando para fora da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície). -
é a carga total contida dentro da superfície fechada . -
é a permissividade elétrica do vácuo.
Motivação: a distribuição de carga é esfericamente simétrica (a densidade depende só de
), então escolheremos uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
(com
). Isso vai simplificar muito a integral de fluxo porque
será radial e de mesma magnitude em toda a superfície.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria.
- Tomamos como superfície gaussiana uma esfera de raio
(com ), centrada no mesmo centro da distribuição. - Por simetria esférica, o campo elétrico em pontos dessa superfície é radial e tem mesma magnitude em toda a superfície; escrevemos
onde
é um escalar (magnitude do campo) e
é o versor radial.
- O fluxo pela superfície é então
porque
em cada ponto da superfície e a área total da esfera é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
onde
é a carga total dentro da esfera de raio
. Nosso próximo passo é calcular
a partir da densidade dada.
Passo 4
Cálculo da carga total contida dentro do raio
:
.
A carga contida num elemento de volume esférico de raio
e espessura
é
Usamos
como variável de integração para não confundir com o raio fixo da superfície gaussiana
.
Substituindo
:
A carga total dentro de
é a integral de
até
:
Passo 5
Resolver a integral para
.
Calcule a primitiva de
:
Então
Portanto a carga contida dentro de uma esfera de raio
é
.
Passo 6
Voltar à Lei de Gauss e isolar
.
A relação da Lei de Gauss que escrevemos era
Substituindo
:
Isolando
:
Direção do campo: como a carga é positiva se
(ou em geral o sinal de
determina o sentido), o campo é radial. Em forma vetorial: