Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme. Determine, em termos do raio R da esfera, a que distância do centro o módulo do campo elétrico é igual a
do valor máximo
do lado de fora da esfera.
do lado de fora da esfera.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Dado: uma esfera isolante (esfera cheia) de raio
com densidade de carga uniforme. Não foi dado o valor total da carga, então vou chamar a carga total de . - Pedido: determinar, em termos de
, a(s) distância(s) do centro da esfera para as quais o módulo do campo elétrico vale do valor máximo do campo do lado de fora da esfera.
Informações importantes que vamos usar mais adiante (não são solução ainda): a esfera é simétrica (esfera cheia, densidade uniforme) e queremos pontos possivelmente tanto dentro (
) quanto fora (
) da esfera.
Passo 2
Entender a ferramenta principal: Lei de Gauss aplicada a uma distribuição esférica. Explicando passo a passo, como se estivéssemos na prova:
- A Lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro dessa superfície dividida por
. Em símbolo:
- Para uma distribuição com simetria esférica, o campo elétrico em uma superfície esférica concêntrica tem direção radial e mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície. Então o fluxo simplifica para
onde
é o raio da superfície gaussiana e
é o módulo do campo nessa superfície.
- Assim, para uma esfera com densidade uniforme, basta calcular a carga contida dentro da esfera de raio
(quando ) ou a carga total (quando ) e aplicar a Lei de Gauss.
Passo 3
Expressar a carga total
e a carga interna
em função da densidade e dos volumes — explicar como fazer isso.
- Se a densidade volumétrica de carga é uniforme, chamo-a de
(carga por unidade de volume). O volume de uma esfera de raio é . - Portanto a carga total da esfera (raio
) é
- A carga contida em uma esfera de raio
(para usar na Gauss interna) é
- Observação útil: a razão
vai simplificar contas depois.
Passo 4
Derivar a expressão do campo elétrico fora da esfera (
). Passo a passo:
- Para
a superfície gaussiana envolve toda a carga . Pela Lei de Gauss:
- Daí
- É comum definir a constante
, então podemos escrever
- Observação física: esse resultado mostra que, fora da esfera, o campo se comporta exatamente como o de uma carga pontual
concentrada no centro.
Passo 5
Derivar a expressão do campo elétrico dentro da esfera (
). Passo a passo:
- Para
usamos . Aplicando Gauss:
- Simplificando o
em ambos os lados:
- Podemos também escrever em termos de
usando . Substituindo na expressão acima:
- Usando
isso fica
- Observação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
(de zero no centro até um valor na superfície).
Passo 6
Identificar o valor máximo do campo do lado de fora e relacioná-lo com as expressões que achamos.
- O campo fora é
. Para esse campo é máximo no menor permitido, isto é, no limite imediatamente fora da superfície ( ). Logo o valor máximo do campo do lado de fora é o campo na superfície:
- A questão pede os pontos onde o módulo do campo vale
desse valor. Assim queremos os tais que
Passo 7
Resolver para
no caso interior (
). Passo a passo com cancelamentos:
- Dentro temos
. Igualando ao alvo:
- Cancelamos
e de ambos os lados (é seguro desde que ). Isso deixa:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Conclusão parcial: existe uma solução interior em
que satisfaz
, portanto é válida.
Passo 8
Resolver para
no caso exterior (
). Passo a passo:
- Fora temos
. Igualando ao alvo:
- Novamente cancelar
e :
- Invertendo e resolvendo para
:
- Tomando raiz positiva (distância):
- Conclusão parcial: existe uma solução exterior em
, que satisfaz , portanto é válida.
Passo 9
Checagem física rápida e comentário encorajador.
- Temos duas posições onde o campo tem o valor pedido
: uma dentro da esfera em e outra fora em . - Interpretação física breve: dentro o campo cresce com
, então atinge do valor de superfície já perto do centro ( ). Fora o campo decai como , e para cair até do valor da superfície é preciso dobrar o raio ( ), porque . - Bom trabalho por chegar até aqui — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: montar Gauss, calcular
e , e igualar ao valor pedido.