Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme. Determine, em termos do raio R da esfera, a que distância do centro o módulo do campo elétrico é igual a 1 / 4 do valor máximo
do lado de fora da esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dado: uma esfera isolante (esfera cheia) de raio R com densidade de carga uniforme. Não foi dado o valor total da carga, então vou chamar a carga total de \,Q.
  • Pedido: determinar, em termos de R, a(s) distância(s) r do centro da esfera para as quais o módulo do campo elétrico vale \tfrac{1}{4} do valor máximo do campo do lado de fora da esfera.
Informações importantes que vamos usar mais adiante (não são solução ainda): a esfera é simétrica (esfera cheia, densidade uniforme) e queremos pontos possivelmente tanto dentro ( r\le R) quanto fora ( r\ge R) da esfera.

Passo 2

Entender a ferramenta principal: Lei de Gauss aplicada a uma distribuição esférica. Explicando passo a passo, como se estivéssemos na prova:
  • A Lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0. Em símbolo:
\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Para uma distribuição com simetria esférica, o campo elétrico em uma superfície esférica concêntrica tem direção radial e mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície. Então o fluxo simplifica para
\Phi_E=E(r)\cdot 4\pi r^{2},
onde r é o raio da superfície gaussiana e E(r) é o módulo do campo nessa superfície.
  • Assim, para uma esfera com densidade uniforme, basta calcular a carga contida dentro da esfera de raio r (quando r\le R) ou a carga total Q (quando r\ge R) e aplicar a Lei de Gauss.

Passo 3

Expressar a carga total Q e a carga interna Q_{\text{int}}(r) em função da densidade e dos volumes — explicar como fazer isso.
  • Se a densidade volumétrica de carga é uniforme, chamo-a de \rho (carga por unidade de volume). O volume de uma esfera de raio a é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}.
  • Portanto a carga total da esfera (raio R) é
Q=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • A carga contida em uma esfera de raio r\le R (para usar na Gauss interna) é
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Observação útil: a razão \dfrac{Q_{\text{int}}(r)}{Q}=\dfrac{r^{3}}{R^{3}} vai simplificar contas depois.

Passo 4

Derivar a expressão do campo elétrico fora da esfera ( r\ge R). Passo a passo:
  • Para r\ge R a superfície gaussiana envolve toda a carga Q. Pela Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  • Daí
E_{\text{fora}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}.
  • É comum definir a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, então podemos escrever
E_{\text{fora}}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}.
  • Observação física: esse resultado mostra que, fora da esfera, o campo se comporta exatamente como o de uma carga pontual Q concentrada no centro.

Passo 5

Derivar a expressão do campo elétrico dentro da esfera ( r\le R). Passo a passo:
  • Para r\le R usamos Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}. Aplicando Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{\varepsilon_{0}}.
  • Simplificando o 4\pi r^{2} em ambos os lados:
E_{\text{dentro}}(r)=\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\,r.
  • Podemos também escrever em termos de Q usando Q=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^{3}. Substituindo \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}} na expressão acima:
E_{\text{dentro}}(r)=\left(\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\right)\frac{1}{3\varepsilon_{0}}\,r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r.
  • Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} isso fica
E_{\text{dentro}}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\,r.
  • Observação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (de zero no centro até um valor na superfície).

Passo 6

Identificar o valor máximo do campo do lado de fora e relacioná-lo com as expressões que achamos.
  • O campo fora é E_{\text{fora}}(r)=k\dfrac{Q}{r^{2}}. Para r\ge R esse campo é máximo no menor r permitido, isto é, no limite imediatamente fora da superfície ( r=R). Logo o valor máximo do campo do lado de fora é o campo na superfície:
E_{\text{max, fora}}=E_{\text{fora}}(R)=k\frac{Q}{R^{2}}.
  • A questão pede os pontos onde o módulo do campo vale \tfrac{1}{4} desse valor. Assim queremos os r tais que
E(r)=\frac{1}{4}\,E_{\text{max, fora}}=\frac{1}{4}\,k\frac{Q}{R^{2}}.

Passo 7

Resolver para r no caso interior ( r\le R). Passo a passo com cancelamentos:
  • Dentro temos E_{\text{dentro}}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\,r. Igualando ao alvo:
k\frac{Q}{R^{3}}\,r=\frac{1}{4}\,k\frac{Q}{R^{2}}.
  • Cancelamos k e Q de ambos os lados (é seguro desde que Q\neq 0). Isso deixa:
\frac{r}{R^{3}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{R^{2}}.
  • Multiplicando ambos os lados por R^{3}:
r=\frac{1}{4}R.
  • Conclusão parcial: existe uma solução interior em
r=\frac{R}{4},
que satisfaz r\le R, portanto é válida.

Passo 8

Resolver para r no caso exterior ( r\ge R). Passo a passo:
  • Fora temos E_{\text{fora}}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}. Igualando ao alvo:
k\frac{Q}{r^{2}}=\frac{1}{4}\,k\frac{Q}{R^{2}}.
  • Novamente cancelar k e Q:
\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{R^{2}}.
  • Invertendo e resolvendo para r^{2}:
r^{2}=4R^{2}.
  • Tomando raiz positiva (distância):
r=2R.
  • Conclusão parcial: existe uma solução exterior em r=2R, que satisfaz r\ge R, portanto é válida.

Passo 9

Checagem física rápida e comentário encorajador.
  • Temos duas posições onde o campo tem o valor pedido \tfrac{1}{4}E_{\text{max, fora}}: uma dentro da esfera em r=\tfrac{R}{4} e outra fora em r=2R.
  • Interpretação física breve: dentro o campo cresce com r, então atinge \tfrac{1}{4} do valor de superfície já perto do centro ( R/4). Fora o campo decai como 1/r^{2}, e para cair até \tfrac{1}{4} do valor da superfície é preciso dobrar o raio ( r=2R), porque \bigl(2R\bigr)^{2}=4R^{2}.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: montar Gauss, calcular E_{\text{dentro}} e E_{\text{fora}}, e igualar ao valor pedido.

Resposta

\displaystyle r=\frac{R}{4}
\displaystyle r=2R

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