Questão 2
Considere um corpo realizando uma trajetória qualquer, descrita pelas coordenadas [x(t), y(t)]. Faça um esboço para mostrar que um pedaço qualquer infinitesimal da trajetória tem comprimento dado por
\mathrm{d} s=\dot{x} \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^{2}} \mathrm{~d} t
Mostre que o comprimento infinitesimal da trajetória das funções x(t)=R \cos (\omega t) e y(t)= R \operatorname{sen}(\omega t) é dado por
\mathrm{d} s=R \omega \mathrm{~d} t
Passo 1
O enunciado dá uma trajetória qualquer descrita pelas coordenadas dependentes do tempo t: x(t) e y(t). Ele pede duas coisas:
Mostrar, com um esboço/argumento geométrico, que um pedaço infinitesimal da trajetória tem comprimento dado por
Aplicar esse resultado às funções x(t)=R\cos(\omega t) e y(t)=R\operatorname{sen}(\omega t) e mostrar que, para esse caso,
\mathrm{d}s=R\omega\,\mathrm{d}t.
Informações importantes fornecidas:
As funções são x(t) e y(t).
Notação: \dot{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e \dot{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.
Para a segunda parte, a parametrização do movimento é x(t)=R\cos(\omega t) e y(t)=R\operatorname{sen}(\omega t), com R>0 e \omega constantes.
Passo 2
Ideia geométrica e definição do comprimento infinitesimal: considere em um instante t um ponto P da curva com coordenadas (x(t),y(t)) e, num instante t+\mathrm{d}t muito próximo, o ponto P' com coordenadas (x(t+\mathrm{d}t),y(t+\mathrm{d}t)). O pequeno segmento PP' pode ser aproximado por um segmento retilíneo. Pelas coordenadas diferenciais temos as projeções horizontais e verticais desse segmento:
Isso é a definição usual do elemento de arco de uma curva no plano.
Passo 3
Expressar \mathrm{d}x e \mathrm{d}y em função de \mathrm{d}t: como x e y são funções do tempo, para um incremento de tempo \mathrm{d}t pequeno vale, pela definição de derivada,
onde \dot{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e \dot{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}. Isso é apenas a aproximação linear de primeira ordem: x(t+\mathrm{d}t)\approx x(t)+\dot{x}\,\mathrm{d}t.
Passo 4
Substituir essas expressões na fórmula do Passo 2:
Interpretação física: \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} é a magnitude da velocidade escalar (a rapidez) do corpo no plano; multiplicando por \mathrm{d}t obtemos o pequeno deslocamento no intervalo \mathrm{d}t.
Passo 5
Relacionar \dot{y} e \dot{x} com \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Se \dot{x}\neq 0 (isto é, a componente horizontal da velocidade não se anula), podemos escrever
Observação sobre o valor absoluto: apareceu |\dot{x}| porque \sqrt{\dot{x}^{2}}=|\dot{x}|. O enunciado escreve \dot{x} sem valor absoluto; isso é correto se for assumido que \dot{x}\ge 0 no trecho considerado (por exemplo, ao traçar um esboço pode-se escolher a orientação do eixo x ou restringir a região onde \dot{x}>0). Se não houver essa hipótese, a forma rigorosa é com |\dot{x}|. Em muitos contextos de cálculo de comprimento de arco toma-se a magnitude da velocidade, isto é \mathrm{d}s=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}\,\mathrm{d}t, que já é a forma correta e sem ambiguidades.
Passo 6
Aplicar ao caso x(t)=R\cos(\omega t), y(t)=R\operatorname{sen}(\omega t).
Como \operatorname{sen}^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1 para todo \theta, segue
\mathrm{d}s=R\omega\,\mathrm{d}t.
Passo 7
Interpretação física e atalho geométrico: a parametrização dada corresponde a um movimento circular uniforme de raio R com ângulo polar \theta=\omega t. O comprimento de arco correspondente a um aumento angular \mathrm{d}\theta é \mathrm{d}s=R\,\mathrm{d}\theta. Como \mathrm{d}\theta=\omega\,\mathrm{d}t, obtemos \mathrm{d}s=R\omega\,\mathrm{d}t, que é o mesmo resultado. Esse atalho confirma a conta diferencial anterior e mostra por que a rapidez é constante e igual a R\omega.