Questão 4

Considere um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Considere um referencial O tal que o ponto de equilíbrio do sistema seja em \vec{r}_{0}. Mostre que a equação de movimento do sistema é dada por
\ddot{\vec{r}}+\frac{k}{m}\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0
Onde \vec{r} é a posição do corpo no referencial O.
Se mudamos a análise do problema para um referencial O’ que se localiza exatamente no ponto de equilíbrio do sistema. Como ficará a equação de movimento acima?

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Há um referencial O em que o ponto de equilíbrio do sistema está localizado no vetor posição \vec{r}_{0}. A tarefa é dupla:
  • Mostrar que a equação de movimento, no referencial O, é
\ddot{\vec{r}}+\frac{k}{m}\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0
onde \vec{r} é a posição do corpo no referencial O.
  • Reescrever a equação quando passamos a um referencial O' cujo origem coincide exatamente com o ponto de equilíbrio do sistema (ou seja, em O' o ponto de equilíbrio é a origem).
As informações relevantes fornecidas:
  • massa do corpo: m (escalar, positivo);
  • constante elástica da mola: k (escalar, positivo);
  • posição de equilíbrio no referencial O: vetor constante \vec{r}_{0};
  • posição do corpo no referencial O: vetor \vec{r}(t) (função do tempo).

Passo 2

Entendendo a força da mola (Lei de Hooke vetorial). Para uma mola que tem ponto de equilíbrio em \vec{r}_{0}, a força elástica que a mola exerce sobre o corpo é proporcional ao deslocamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio e sempre aponta no sentido de restaurar o corpo para o equilíbrio. Em forma vetorial:
\vec{F} = -k\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr).
Explicação das grandezas:
  • \vec{F} é a força resultante aplicada pelo conjunto mola sobre o corpo (vetor).
  • k é a constante elástica; o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta contra o deslocamento).
  • \vec{r}-\vec{r}_{0} é o vetor que vai do ponto de equilíbrio até a posição atual do corpo; se esse vetor for nulo, a força é nula.
Isso é a versão vetorial de Hooke: em uma dimensão seria F=-k(x-x_0); aqui fazemos vetor para abranger movimentos em qualquer direção.

Passo 3

Aplicando a Segunda Lei de Newton. A Segunda Lei diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante:
m\,\ddot{\vec{r}} = \vec{F}.
Substituindo a expressão de \vec{F} dada pela Lei de Hooke:
m\,\ddot{\vec{r}} = -k\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr).
Agora isolamos todos os termos no lado esquerdo para obter a forma padrão da equação de movimento:
\ddot{\vec{r}} + \frac{k}{m}\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr) = 0.
Pronto — isso mostra a primeira parte pedida. É uma equação diferencial vetorial de segunda ordem que descreve oscilações harmônicas ao redor de \vec{r}_{0}.

Passo 4

Interpretação física e frequência natural. A equação
\ddot{\vec{r}} + \frac{k}{m}\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr) = 0
é a equação do oscilador harmônico linear deslocado (o equilíbrio está em \vec{r}_{0}, não na origem do referencial O). É útil definir a frequência angular natural:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Com isso a equação pode ser lida como \ddot{\vec{r}}+\omega^{2}(\vec{r}-\vec{r}_{0})=0. Isso significa que as soluções são oscilações harmônicas em torno de \vec{r}_{0}.

Passo 5

Mudando para o referencial O' situado no ponto de equilíbrio. Defina a coordenada do corpo no referencial O' por
\vec{r}\,'(t)=\vec{r}(t)-\vec{r}_{0}.
Explicação: \vec{r}\,' é o vetor posição medido a partir da origem de O', que coincide com o ponto de equilíbrio. Note que \vec{r}_{0} é um vetor constante (posição fixa do equilíbrio no referencial O), portanto suas derivadas temporais são nulas:
\dot{\vec{r}}_{0}=0,\qquad \ddot{\vec{r}}_{0}=0.

Passo 6

Derivando e substituindo. Como \vec{r}\,'=\vec{r}-\vec{r}_{0} e \vec{r}_{0} é constante, tem-se:
\ddot{\vec{r}}'=\ddot{\vec{r}}.
Substituindo na equação encontrada em Passo 3:
\ddot{\vec{r}}' + \frac{k}{m}\bigl(\vec{r}'+\vec{r}_{0}-\vec{r}_{0}\bigr)=0.
Os \vec{r}_{0} cancelam, ficando simplesmente
\ddot{\vec{r}}' + \frac{k}{m}\,\vec{r}' = 0.
Essa é a equação de movimento escrita no referencial O': um oscilador harmônico cujo ponto de equilíbrio é a origem de O'.

Passo 7

Solução geral e interpretação prática (para usar na prova). A equação em O'
\ddot{\vec{r}}' + \omega^{2}\vec{r}' = 0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
tem solução geral (vetorial)
\vec{r}'(t)=\vec{A}\cos(\omega t)+\vec{B}\sin(\omega t),
onde \vec{A} e \vec{B} são vetores constantes determinados pelas condições iniciais \vec{r}'(0) e \dot{\vec{r}}'(0). No referencial original O a solução é simplesmente
\vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{r}'(t).
Dica para a prova: trabalhar no referencial O' (origem no equilíbrio) simplifica muito os cálculos porque a equação fica com termo de deslocamento em relação à origem, sem constantes adicionadas.

Resposta

\ddot{\vec{r}}+\frac{k}{m}\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr)=0
\ddot{\vec{r}}'+\frac{k}{m}\,\vec{r}'=0,\qquad\text{com }\vec{r}'=\vec{r}-\vec{r}_{0} \text{ e } \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

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