Questão 4
Considere um corpo de massa
preso a uma mola de constante elástica
. Considere um referencial O tal que o ponto de equilíbrio do sistema seja em
. Mostre que a equação de movimento do sistema é dada por
Onde
é a posição do corpo no referencial O.
Se mudamos a análise do problema para um referencial O’ que se localiza exatamente no ponto de equilíbrio do sistema. Como ficará a equação de movimento acima?
Se mudamos a análise do problema para um referencial O’ que se localiza exatamente no ponto de equilíbrio do sistema. Como ficará a equação de movimento acima?
Passo 1
O enunciado dá um corpo de massa
preso a uma mola de constante elástica
. Há um referencial
em que o ponto de equilíbrio do sistema está localizado no vetor posição
. A tarefa é dupla:
- Mostrar que a equação de movimento, no referencial
, é
onde
é a posição do corpo no referencial
.
- Reescrever a equação quando passamos a um referencial
cujo origem coincide exatamente com o ponto de equilíbrio do sistema (ou seja, em o ponto de equilíbrio é a origem).
As informações relevantes fornecidas:
- massa do corpo:
(escalar, positivo); - constante elástica da mola:
(escalar, positivo); - posição de equilíbrio no referencial
: vetor constante ; - posição do corpo no referencial
: vetor (função do tempo).
Passo 2
Entendendo a força da mola (Lei de Hooke vetorial). Para uma mola que tem ponto de equilíbrio em
, a força elástica que a mola exerce sobre o corpo é proporcional ao deslocamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio e sempre aponta no sentido de restaurar o corpo para o equilíbrio. Em forma vetorial:
Explicação das grandezas:
-
é a força resultante aplicada pelo conjunto mola sobre o corpo (vetor). -
é a constante elástica; o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta contra o deslocamento). -
é o vetor que vai do ponto de equilíbrio até a posição atual do corpo; se esse vetor for nulo, a força é nula.
Isso é a versão vetorial de Hooke: em uma dimensão seria
; aqui fazemos vetor para abranger movimentos em qualquer direção.
Passo 3
Aplicando a Segunda Lei de Newton. A Segunda Lei diz que a massa vezes a aceleração é igual à força resultante:
Substituindo a expressão de
dada pela Lei de Hooke:
Agora isolamos todos os termos no lado esquerdo para obter a forma padrão da equação de movimento:
Pronto — isso mostra a primeira parte pedida. É uma equação diferencial vetorial de segunda ordem que descreve oscilações harmônicas ao redor de
.
Passo 4
Interpretação física e frequência natural. A equação
é a equação do oscilador harmônico linear deslocado (o equilíbrio está em
, não na origem do referencial
). É útil definir a frequência angular natural:
Com isso a equação pode ser lida como
. Isso significa que as soluções são oscilações harmônicas em torno de
.
Passo 5
Mudando para o referencial
situado no ponto de equilíbrio. Defina a coordenada do corpo no referencial
por
Explicação:
é o vetor posição medido a partir da origem de
, que coincide com o ponto de equilíbrio. Note que
é um vetor constante (posição fixa do equilíbrio no referencial
), portanto suas derivadas temporais são nulas:
Passo 6
Derivando e substituindo. Como
e
é constante, tem-se:
Substituindo na equação encontrada em Passo 3:
Os
cancelam, ficando simplesmente
Essa é a equação de movimento escrita no referencial
: um oscilador harmônico cujo ponto de equilíbrio é a origem de
.
Passo 7
Solução geral e interpretação prática (para usar na prova). A equação em
tem solução geral (vetorial)
onde
e
são vetores constantes determinados pelas condições iniciais
e
. No referencial original
a solução é simplesmente
Dica para a prova: trabalhar no referencial
(origem no equilíbrio) simplifica muito os cálculos porque a equação fica com termo de deslocamento em relação à origem, sem constantes adicionadas.