Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional a_{g} na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é a_{g} / 3 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: uma esfera maciça homogênea tem raio R.
  • Informação: a aceleração gravitacional na superfície da esfera vale a_{g}.
  • Pergunta: a que distância do centro da esfera existem pontos fora da esfera onde a aceleração gravitacional vale \tfrac{a_{g}}{3} ?
Além disso, é implícito que estamos trabalhando com a gravitação newtoniana e que procuramos distâncias r com r\ge R (pontos fora da esfera).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
  • Lei da gravitação de Newton (intuição): a força gravitacional entre duas massas M e m separadas por uma distância r é
F = G\,\frac{M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional. Aqui M é a massa da esfera e m é uma pequena massa-teste. Essa fórmula diz que a força decai com o quadrado da distância.
  • A aceleração gravitacional g sentida pela massa-teste é a força por unidade de massa:
g(r)=\frac{F}{m}=G\,\frac{M}{r^{2}}.
Explicação das variáveis: g(r) é a aceleração a uma distância r do centro; M é a massa total da esfera; G é constante; r é a distância do centro.
  • Teorema da casca/esfera (explicação rápida e intuitiva): para uma distribuição esfericamente simétrica (como uma esfera homogênea), o campo gravitacional fora da esfera é exatamente o mesmo que o de uma massa pontual M colocada no centro. Por isso podemos usar a fórmula acima para qualquer r\ge R.
Portanto, para pontos fora da esfera a aceleração é
g(r)=G\,\frac{M}{r^{2}}.

Passo 3

Relacionando com o dado do enunciado na superfície:
  • Na superfície, r=R, a aceleração dada é a_{g}. Logo
a_{g}=g(R)=G\,\frac{M}{R^{2}}.
  • Para um ponto genérico fora da esfera, usamos
g(r)=G\,\frac{M}{r^{2}}.
Podemos também escrever a razão entre acelerações em r e na superfície:
\frac{g(r)}{a_{g}}=\frac{G\,\dfrac{M}{r^{2}}}{G\,\dfrac{M}{R^{2}}}=\frac{R^{2}}{r^{2}}.
Isso é muito útil porque G e M desaparecem — não precisamos conhecer a massa.

Passo 4

Agora imponho a condição pedida: queremos g(r)=\dfrac{a_{g}}{3}. Usando a relação do passo anterior:
\frac{g(r)}{a_{g}}=\frac{R^{2}}{r^{2}}=\frac{1}{3}.
Resolvendo para r:
\frac{R^{2}}{r^{2}}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=3\,R^{2}\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{3}\,R.
Tomamos a raiz positiva porque r é uma distância; além disso \sqrt{3}\,R>R, então o ponto está realmente fora da esfera.

Resposta

\;r=\sqrt{3}\,R

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