Uma esfera maciça homogênea de raio
produz uma aceleração gravitacional
na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: uma esfera maciça homogênea tem raio
. - Informação: a aceleração gravitacional na superfície da esfera vale
. - Pergunta: a que distância do centro da esfera existem pontos fora da esfera onde a aceleração gravitacional vale
?
Além disso, é implícito que estamos trabalhando com a gravitação newtoniana e que procuramos distâncias
com
(pontos fora da esfera).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
- Lei da gravitação de Newton (intuição): a força gravitacional entre duas massas
e separadas por uma distância é
onde
é a constante gravitacional. Aqui
é a massa da esfera e
é uma pequena massa-teste. Essa fórmula diz que a força decai com o quadrado da distância.
- A aceleração gravitacional
sentida pela massa-teste é a força por unidade de massa:
Explicação das variáveis:
é a aceleração a uma distância
do centro;
é a massa total da esfera;
é constante;
é a distância do centro.
- Teorema da casca/esfera (explicação rápida e intuitiva): para uma distribuição esfericamente simétrica (como uma esfera homogênea), o campo gravitacional fora da esfera é exatamente o mesmo que o de uma massa pontual
colocada no centro. Por isso podemos usar a fórmula acima para qualquer .
Portanto, para pontos fora da esfera a aceleração é
Passo 3
Relacionando com o dado do enunciado na superfície:
- Na superfície,
, a aceleração dada é . Logo
- Para um ponto genérico fora da esfera, usamos
Podemos também escrever a razão entre acelerações em
e na superfície:
Isso é muito útil porque
e
desaparecem — não precisamos conhecer a massa.
Passo 4
Agora imponho a condição pedida: queremos
. Usando a relação do passo anterior:
Resolvendo para
:
Tomamos a raiz positiva porque
é uma distância; além disso
, então o ponto está realmente fora da esfera.