Uma esfera de massa m e raio R rola em um plano sem deslizar. Sendo V a velocidade do centro de massa, calcule a energia cinética de rotação e a energia cinética total da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a energia cinética de rotação e a energia cinética total de uma esfera que está rolando sem deslizar. Estamos lidando com conceitos de cinemática rotacional e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética associada ao movimento de rotação e a combinação com a energia cinética de translação do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade de translação do centro de massa ( V) e a velocidade angular ( omega). Essa relação é dada por:
V = omega R
Aqui, R é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação. A energia cinética rotacional ( Krot) é dada por:
Krot = 12 I omega^2
Onde I é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é:
I = 25 m R^2

Passo 4

Substituindo o valor de I na fórmula da energia cinética rotacional, temos:
Krot = 12 ( 25 m R^2 ) omega^2 = 15 m R^2 omega^2

Passo 5

Agora, vamos expressar omega em termos de V usando a relação que vimos antes ( V = omega R). Resolvendo para omega:
omega = VR
Substituindo esse valor na expressão de Krot:
Krot = 15 m R^2 ( VR )^2 = 15 m R^2 V^2R^2 = 15 m V^2

Passo 6

A energia cinética de translação ( Ktrans) do centro de massa é dada por:
Ktrans = 12 m V^2

Passo 7

Finalmente, a energia cinética total ( Ktotal) da esfera que está rolando é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Ktotal = Ktrans + Krot = 12 m V^2 + 15 m V^2 = ( 12 + 15 ) m V^2 = 710 m V^2

Resposta

A energia cinética de rotação da esfera é 15 m V^2 e a energia cinética total é 710 m V^2.

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