Uma esfera de massa
e raio
rola em um plano sem deslizar. Sendo
a velocidade do centro de massa, calcule a energia cinética de rotação e a energia cinética total da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a energia cinética de rotação e a energia cinética total de uma esfera que está rolando sem deslizar. Estamos lidando com conceitos de cinemática rotacional e energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética associada ao movimento de rotação e a combinação com a energia cinética de translação do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade de translação do centro de massa (
) e a velocidade angular (
). Essa relação é dada por:
Aqui,
é o raio da esfera.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação. A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Onde
é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é:
Passo 4
Substituindo o valor de
na fórmula da energia cinética rotacional, temos:
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos de
usando a relação que vimos antes (
). Resolvendo para
:
Substituindo esse valor na expressão de
:
Passo 6
A energia cinética de translação (
) do centro de massa é dada por:
Passo 7
Finalmente, a energia cinética total (
) da esfera que está rolando é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Resposta
A energia cinética de rotação da esfera é
e a energia cinética total é
.