Uma esfera de metal de raio R é cortada em duas partes ao longo de um plano cuja distância mínima ao centro da esfera é h. A esfera é uniformemente carregada com uma carga elétrica total Q . Calcule 0 módulo da força que um operador deve exercer para manter as duas partes unidas. A permissividade elétrica do meio vale \varepsilon.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Uma esfera metálica de raio R foi cortada em duas partes por um plano cuja distância mínima ao centro da esfera é h. (Ou seja, o plano corta a esfera formando um disco de raio a=\sqrt{R^{2}-h^{2}}.)
  • A esfera é carregada com carga total Q.
  • A permissividade elétrica do meio é \varepsilon.
  • Pergunta: Calcular o módulo da força que um operador deve exercer para manter as duas partes unidas.
Informações relevantes extras que podemos extrair do enunciado (úteis para a resolução):
  • Por ser um corpo metálico em equilíbrio eletrostático, a carga total Q está distribuída sobre a superfície externa da esfera. Inicialmente, antes do corte, a densidade superficial na casca esférica é uniforme e vale \sigma_0=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}.
  • O plano de corte intercepta a superfície esférica delimitando uma calota cujo ângulo polar máximo \theta_0 satisfaz \cos\theta_0=\dfrac{h}{R}. A área do disco de corte tem raio a=\sqrt{R^{2}-h^{2}}.

Passo 2

Escolha do método (explicação e plano de ataque, passo-a-passo).
  • Queremos a força de repulsão elétrica entre as duas partes quando elas tendem a se separar; o operador precisa aplicar força contrária para mantê-las unidas. Uma forma elegante e prática é usar a interpretação local do efeito das forças elétricas sobre a superfície condutora: a superfície carregada de um condutor sofre uma pressão elétrica (pressionando para fora) dada por uma expressão simples em termos da densidade superficial \sigma. Integrando a componente dessa pressão ao longo da superfície pertinente obtemos a força resultante que age para separar as partes.
  • Vou primeiro derivar e explicar a fórmula da pressão eletrostática sobre a superfície \;p=\dfrac{\sigma^{2}}{2\varepsilon}\; (para que fique claro de onde vem), definir as geometrias e ângulos, e então integrar a componente normal que contribui para separar as partes. Esse método é o mais direto aqui porque a densidade superficial sobre a superfície esférica é conhecida e, por simetria, constante antes do corte.

Passo 3

Derivando a fórmula da pressão eletrostática sobre a superfície de um condutor e significado das grandezas.
  • Considere um pequeno elemento de área dA da superfície de um condutor, com densidade superficial de carga \sigma. A descontinuidade do campo elétrico na superfície é
\Delta E_n = E_{\text{fora},n}-E_{\text{dentro},n}=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
  • Dentro do condutor E_{\text{dentro}}=0 (equilíbrio eletrostático). Logo o campo imediatamente fora da superfície, na direção normal, vale
E_{\text{fora}}=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
  • A força sobre a carga local \sigma\,dA é produzida pelo campo das demais cargas (não pelo campo “próprio” do elemento). É conhecido (e pode-se justificar por média dos campos acima e abaixo da superfície) que o campo devido às outras cargas, no ponto da superfície, é a média dos campos imediatamente fora e dentro:
E_{\text{outras}}=\frac{E_{\text{fora}}+E_{\text{dentro}}}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sigma}{\varepsilon}.
(Essa média aparece porque o campo do próprio elemento é singular, e a correta força efetiva usa a média dos lados.)
  • Assim a força normal sobre o elemento é
dF_n=(\sigma\,dA)\,E_{\text{outras}}=\sigma\,dA\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon}=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon}\,dA.
  • Portanto a pressão eletrostática (força por unidade de área) sobre a superfície do condutor é
p=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon},
sempre dirigida para fora (tendendo a “estourar” o condutor).
Observação: aqui \sigma é a densidade superficial local (carga por unidade de área) e \varepsilon a permissividade do meio. Essa expressão é padrão e muito útil em problemas de forças elétricas sobre condutores.

Passo 4

Aplicando a pressão constante na casca esférica: identificação da região cujas contribuições projetadas somam a força de separação.
  • Antes do corte, a densidade superficial na casca esférica é uniforme:
\sigma_0=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
  • Assim a pressão sobre a superfície esférica é constante:
p=\frac{\sigma_0^{2}}{2\varepsilon}.
  • Para calcular a força que tende a separar as duas partes ao longo do plano de corte, é suficiente integrar a componente da pressão, sobre a parte da superfície esférica pertencente a uma das metades, na direção normal ao plano (ou seja, projetar a pressão sobre o eixo perpendicular ao plano). Isso porque as forças sobre os restantes elementos da superfície interna (o disco de corte) e outras contribuições se acomodam de modo que a projeção da pressão sobre a superfície externa capta a força de repulsão que tem componente para separar as partes. (Esse procedimento é o usado também no caso clássico dos hemisférios.)
  • Coordenadas: tome o eixo z perpendicular ao plano de corte, com origem no centro da esfera; o plano de corte está em z=h. Um ponto na superfície esférica tem coordenada z=R\cos\theta. A região pertencente à metade do lado do plano inclui os pontos com z\ge h, ou seja \theta\in[0,\theta_{0}] com
\cos\theta_{0}=\frac{h}{R}.
  • Elemento de área da esfera:
dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • A componente da força (por unidade de área) na direção +z é p\cos\theta (pois a pressão atua normal à superfície; a componente ao longo do eixo do corte é dada pelo cosseno do ângulo entre normal da esfera e o eixo z; ou alternativamente a normal da esfera tem componente \cos\theta em z). Portanto a força total na direção de separação fornecida pela superfície curva é
F=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta_0} p\cos\theta\;R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo.
  • Substituindo p constante e integrando sobre \varphi:
F = p\,R^{2}\cdot 2\pi \int_{0}^{\theta_0}\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral de \sin\theta\cos\theta:
\int_{0}^{\theta_0}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\theta_0}\sin(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\frac{-\cos(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\theta_0} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos(2\theta_0)}{2}.
Mas é mais direto usar \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta' com substituição; de todo modo obtemos
\int_{0}^{\theta_0}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\sin^{2}\theta_0.
  • Logo
F = p\,R^{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\sin^{2}\theta_0 = p\,\pi R^{2}\sin^{2}\theta_0.
  • Usando \sin^{2}\theta_0 = 1-\cos^{2}\theta_0 = 1-\dfrac{h^{2}}{R^{2}} = \dfrac{R^{2}-h^{2}}{R^{2}}, obtemos
F = p\,\pi (R^{2}-h^{2}).

Passo 6

Substituição de p em termos de Q,R,\varepsilon e simplificação final.
  • Lembrando \sigma_0=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}} e p=\dfrac{\sigma_0^{2}}{2\varepsilon}, calculamos:
\sigma_0^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}R^{4}},\qquad p=\frac{1}{2\varepsilon}\cdot\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}R^{4}}=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon R^{4}}.
  • Substituindo em F=p\,\pi (R^{2}-h^{2}):
F=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon R^{4}}\cdot \pi (R^{2}-h^{2}) =\frac{Q^{2}}{32\pi\varepsilon R^{4}}\,(R^{2}-h^{2}).
  • Esta é a expressão do módulo da força que o operador deve exercer para manter as duas partes unidas (a direção é contrária à tendência de separação).

Resposta

F=\frac{Q^{2}}{32\pi\varepsilon R^{4}}\,(R^{2}-h^{2}).

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