Uma esfera de metal de raio R é cortada em duas partes ao longo de um plano cuja distância mínima ao centro da esfera é h. A esfera é uniformemente carregada com uma carga elétrica total Q . Calcule 0 módulo da força que um operador deve exercer para manter as duas partes unidas. A permissividade elétrica do meio vale
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Uma esfera metálica de raio
foi cortada em duas partes por um plano cuja distância mínima ao centro da esfera é . (Ou seja, o plano corta a esfera formando um disco de raio .) - A esfera é carregada com carga total
. - A permissividade elétrica do meio é
. - Pergunta: Calcular o módulo da força que um operador deve exercer para manter as duas partes unidas.
Informações relevantes extras que podemos extrair do enunciado (úteis para a resolução):
- Por ser um corpo metálico em equilíbrio eletrostático, a carga total
está distribuída sobre a superfície externa da esfera. Inicialmente, antes do corte, a densidade superficial na casca esférica é uniforme e vale . - O plano de corte intercepta a superfície esférica delimitando uma calota cujo ângulo polar máximo
satisfaz . A área do disco de corte tem raio .
Passo 2
Escolha do método (explicação e plano de ataque, passo-a-passo).
- Queremos a força de repulsão elétrica entre as duas partes quando elas tendem a se separar; o operador precisa aplicar força contrária para mantê-las unidas. Uma forma elegante e prática é usar a interpretação local do efeito das forças elétricas sobre a superfície condutora: a superfície carregada de um condutor sofre uma pressão elétrica (pressionando para fora) dada por uma expressão simples em termos da densidade superficial
. Integrando a componente dessa pressão ao longo da superfície pertinente obtemos a força resultante que age para separar as partes. - Vou primeiro derivar e explicar a fórmula da pressão eletrostática sobre a superfície
(para que fique claro de onde vem), definir as geometrias e ângulos, e então integrar a componente normal que contribui para separar as partes. Esse método é o mais direto aqui porque a densidade superficial sobre a superfície esférica é conhecida e, por simetria, constante antes do corte.
Passo 3
Derivando a fórmula da pressão eletrostática sobre a superfície de um condutor e significado das grandezas.
- Considere um pequeno elemento de área
da superfície de um condutor, com densidade superficial de carga . A descontinuidade do campo elétrico na superfície é
- Dentro do condutor
(equilíbrio eletrostático). Logo o campo imediatamente fora da superfície, na direção normal, vale
- A força sobre a carga local
é produzida pelo campo das demais cargas (não pelo campo “próprio” do elemento). É conhecido (e pode-se justificar por média dos campos acima e abaixo da superfície) que o campo devido às outras cargas, no ponto da superfície, é a média dos campos imediatamente fora e dentro:
(Essa média aparece porque o campo do próprio elemento é singular, e a correta força efetiva usa a média dos lados.)
- Assim a força normal sobre o elemento é
- Portanto a pressão eletrostática (força por unidade de área) sobre a superfície do condutor é
sempre dirigida para fora (tendendo a “estourar” o condutor).
Observação: aqui
é a densidade superficial local (carga por unidade de área) e
a permissividade do meio. Essa expressão é padrão e muito útil em problemas de forças elétricas sobre condutores.
Passo 4
Aplicando a pressão constante na casca esférica: identificação da região cujas contribuições projetadas somam a força de separação.
- Antes do corte, a densidade superficial na casca esférica é uniforme:
- Assim a pressão sobre a superfície esférica é constante:
- Para calcular a força que tende a separar as duas partes ao longo do plano de corte, é suficiente integrar a componente da pressão, sobre a parte da superfície esférica pertencente a uma das metades, na direção normal ao plano (ou seja, projetar a pressão sobre o eixo perpendicular ao plano). Isso porque as forças sobre os restantes elementos da superfície interna (o disco de corte) e outras contribuições se acomodam de modo que a projeção da pressão sobre a superfície externa capta a força de repulsão que tem componente para separar as partes. (Esse procedimento é o usado também no caso clássico dos hemisférios.)
- Coordenadas: tome o eixo
perpendicular ao plano de corte, com origem no centro da esfera; o plano de corte está em . Um ponto na superfície esférica tem coordenada . A região pertencente à metade do lado do plano inclui os pontos com , ou seja com
- Elemento de área da esfera:
- A componente da força (por unidade de área) na direção
é (pois a pressão atua normal à superfície; a componente ao longo do eixo do corte é dada pelo cosseno do ângulo entre normal da esfera e o eixo ; ou alternativamente a normal da esfera tem componente em ). Portanto a força total na direção de separação fornecida pela superfície curva é
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo.
- Substituindo
constante e integrando sobre :
- Calcule a integral de
:
Mas é mais direto usar
com substituição; de todo modo obtemos
- Logo
- Usando
, obtemos
Passo 6
Substituição de
em termos de
e simplificação final.
- Lembrando
e , calculamos:
- Substituindo em
:
- Esta é a expressão do módulo da força que o operador deve exercer para manter as duas partes unidas (a direção é contrária à tendência de separação).