Quatro corpos pontuais, cada qual de massa
, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado
, girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante e os dados numéricos que temos):
- Existem quatro corpos puntiformes, cada um com massa
. - Esses quatro corpos estão nos vértices de um quadrado de lado
. - O conjunto gira em torno do centro do quadrado com velocidade angular constante; a atração que mantém a rotação é a gravitação mútua entre as massas.
- A constante de gravitação é
. - A pergunta: determinar o período dessa rotação (valor de
).
Informações geométricas úteis que aparecem no enunciado e que vamos usar (deduzidas da posição dos vértices):
- Distância entre vértices adjacentes (lados) é
. - Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado) é
. - Distância do centro do quadrado a cada vértice (raio da trajetória circular de cada massa) é
.
Passo 2
Estratégia física (resumida, sem ainda calcular): cada massa descreve um movimento circular uniforme de raio
em torno do centro; a força líquida gravitacional dirigida para o centro fornece a força centrípeta necessária. Em linguagem de fórmula, para cada massa vale
onde
é a velocidade angular e
é a soma das componentes radiais (em direção ao centro) das forças gravitacionais das outras três massas sobre a considerada. Depois de encontrar
obtemos o período por
Agora vamos calcular explicitamente
e resolver para
.
Passo 3
Posição e raio: coloque um dos vértices na coordenada
(centro em
). Então a distância do vértice ao centro é
Relembrando: essa é a distância que aparece no termo de centripetalidade
.
Passo 4
Forças gravitacionais entre a massa considerada e as outras três:
- Força devido à massa oposta (no vértice diametralmente oposto): a distância entre elas é
, logo a magnitude é
Essa força atua exatamente ao longo da diagonal, ou seja, exatamente na direção radial (do vértice para o centro). Portanto sua componente radial é toda a sua magnitude:
.
- Forças devido às duas massas adjacentes (vértices que compartilham o lado): cada uma está à distância
, então a magnitude de cada força é
Essas duas forças têm direções perpendiculares entre si (uma ao longo do eixo
, outra ao longo do eixo
se usarmos o sistema de coordenadas acima). Precisamos somar suas projeções na direção radial (direção da diagonal que aponta para o centro).
Passo 5
Projeção das forças dos vértices adjacentes na direção radial:
- Se representarmos as duas forças por vetores
e (apontando para dentro), a soma vetorial é . - A direção radial unitária para dentro é
. - A componente radial total das duas forças é o produto escalar:
Passo 6
Somando todas as componentes radiais (oposta + adjacentes) obtemos a força radial total que atua sobre a massa:
Fatorando
:
Passo 7
Agora impondo a condição de movimento circular uniforme:
Substituindo
e o valor de
:
Cancele
em ambos os lados e isole
:
Multiplicando
:
Portanto
Passo 8
O período é
. Assim
Agora simplificamos o fator
. Multiplicando numerador e denominador por
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Interpretação final: o período obtido coincide com a alternativa D do enunciado.
Resposta
D)