Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L, girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por
A) 2 \pi \sqrt{\frac{L^{3}}{G m}\left(\frac{4-\sqrt{2}}{2}\right)}
B) \frac{4 \pi}{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2} L^{3}}{3 G m}}
C) \sqrt{\frac{\mathrm{L}^{3}}{\mathrm{Gm}}\left(\frac{4+\sqrt{2}}{7}\right)}
D) 2 \pi \sqrt{\frac{L^{3}}{G m}\left(\frac{4-\sqrt{2}}{7}\right)}
E) \sqrt{\frac{L^{3}}{G m}\left(\frac{4+\sqrt{2}}{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante e os dados numéricos que temos):
  • Existem quatro corpos puntiformes, cada um com massa \,m\,.
  • Esses quatro corpos estão nos vértices de um quadrado de lado \,L\,.
  • O conjunto gira em torno do centro do quadrado com velocidade angular constante; a atração que mantém a rotação é a gravitação mútua entre as massas.
  • A constante de gravitação é \,G\,.
  • A pergunta: determinar o período dessa rotação (valor de \,T\,).
Informações geométricas úteis que aparecem no enunciado e que vamos usar (deduzidas da posição dos vértices):
  • Distância entre vértices adjacentes (lados) é \,L\,.
  • Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado) é \,L\sqrt{2}.
  • Distância do centro do quadrado a cada vértice (raio da trajetória circular de cada massa) é \,r=\dfrac{L}{\sqrt{2}}\,.

Passo 2

Estratégia física (resumida, sem ainda calcular): cada massa descreve um movimento circular uniforme de raio \,r em torno do centro; a força líquida gravitacional dirigida para o centro fornece a força centrípeta necessária. Em linguagem de fórmula, para cada massa vale
m\,\omega^{2} r = F_{\text{radial}},
onde \,\omega\, é a velocidade angular e \,F_{\text{radial}}\, é a soma das componentes radiais (em direção ao centro) das forças gravitacionais das outras três massas sobre a considerada. Depois de encontrar \,\omega obtemos o período por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Agora vamos calcular explicitamente \,F_{\text{radial}}\, e resolver para \,T.

Passo 3

Posição e raio: coloque um dos vértices na coordenada \left(\dfrac{L}{2},\dfrac{L}{2}\right) (centro em (0,0)). Então a distância do vértice ao centro é
r=\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+\left(\frac{L}{2}\right)^{2}}=\frac{L}{\sqrt{2}}.
Relembrando: essa é a distância que aparece no termo de centripetalidade m\omega^{2}r.

Passo 4

Forças gravitacionais entre a massa considerada e as outras três:
  • Força devido à massa oposta (no vértice diametralmente oposto): a distância entre elas é \,L\sqrt{2}\,, logo a magnitude é
F_{\text{opp}}=\frac{G m^{2}}{(L\sqrt{2})^{2}}=\frac{G m^{2}}{2L^{2}}.
Essa força atua exatamente ao longo da diagonal, ou seja, exatamente na direção radial (do vértice para o centro). Portanto sua componente radial é toda a sua magnitude: \,F_{\text{opp,rad}}=F_{\text{opp}}\,.
  • Forças devido às duas massas adjacentes (vértices que compartilham o lado): cada uma está à distância \,L\,, então a magnitude de cada força é
F_{\text{lado}}=\frac{G m^{2}}{L^{2}}.
Essas duas forças têm direções perpendiculares entre si (uma ao longo do eixo x, outra ao longo do eixo y se usarmos o sistema de coordenadas acima). Precisamos somar suas projeções na direção radial (direção da diagonal que aponta para o centro).

Passo 5

Projeção das forças dos vértices adjacentes na direção radial:
  • Se representarmos as duas forças por vetores (-F_{\text{lado}},0) e (0,-F_{\text{lado}}) (apontando para dentro), a soma vetorial é (-F_{\text{lado}},-F_{\text{lado}}).
  • A direção radial unitária para dentro é \displaystyle \mathbf{\hat{e}}_{r}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • A componente radial total das duas forças é o produto escalar:
F_{\text{lado,rad}} = (-F_{\text{lado}},-F_{\text{lado}})\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =F_{\text{lado}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\,F_{\text{lado}}.

Passo 6

Somando todas as componentes radiais (oposta + adjacentes) obtemos a força radial total que atua sobre a massa:
F_{\text{radial}}=F_{\text{opp}}+F_{\text{lado,rad}}=\frac{G m^{2}}{2L^{2}}+\sqrt{2}\,\frac{G m^{2}}{L^{2}}.
Fatorando \dfrac{G m^{2}}{L^{2}}:
F_{\text{radial}}=\frac{G m^{2}}{L^{2}}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right).

Passo 7

Agora impondo a condição de movimento circular uniforme:
m\,\omega^{2} r = F_{\text{radial}}.
Substituindo r=\dfrac{L}{\sqrt{2}} e o valor de F_{\text{radial}}:
m\,\omega^{2}\left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)=\frac{G m^{2}}{L^{2}}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right).
Cancele m em ambos os lados e isole \omega^{2}:
\omega^{2}=\frac{G m}{L^{2}}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{L} =\frac{G m}{L^{3}}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\sqrt{2}.
Multiplicando \left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\sqrt{2}:
\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\sqrt{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}+2 = \frac{4+\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\omega^{2}=\frac{G m}{L^{3}}\cdot\frac{4+\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

O período é \,T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Assim
T=2\pi\sqrt{\frac{1}{\omega^{2}}} =2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G m}\cdot\frac{2}{4+\sqrt{2}}}.
Agora simplificamos o fator \dfrac{2}{4+\sqrt{2}}. Multiplicando numerador e denominador por 4-\sqrt{2}:
\frac{2}{4+\sqrt{2}}=\frac{2(4-\sqrt{2})}{(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})} =\frac{8-2\sqrt{2}}{16-2}=\frac{8-2\sqrt{2}}{14}=\frac{4-\sqrt{2}}{7}.
Substituindo de volta:
T=2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G m}\cdot\frac{4-\sqrt{2}}{7}}.

Passo 9

Interpretação final: o período obtido coincide com a alternativa D do enunciado.

Resposta

D) 2 \pi \sqrt{\dfrac{L^{3}}{G m}\left(\dfrac{4-\sqrt{2}}{7}\right)}

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