Uma lua de massa m de um planeta distante, de massa \mathrm{M} \gg \mathrm{m}, descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a e semieixo menor \mathbf{b}, perfazendo um sistema de energia E. A lei das áreas de Kepler relaciona a velocidade \mathbf{v} da lua no apogeu com sua velocidade v^{\prime} no perigeu, isto é, v^{\prime}(a-e)= v(a+e), em que e é a medida do centro ao foco da elipse. Nessas condições, podemos afirmar que
A) E=-G M m /(2 a)
B) E=-G M m /(2 b)
C) E=-G M m /(2 e)
D) E=-G M m / \sqrt{a^{2}+b^{2}}
E) v^{\prime}=\sqrt{2 G M(a-e)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante):
  • Uma lua de massa m orbita um planeta de massa M, com M \gg m.
  • A órbita é elíptica com semieixo maior a e semieixo menor b.
  • A energia total do sistema (energia mecânica da lua no campo do planeta) é E.
  • A lei das áreas de Kepler implica a relação entre as velocidades no perigeu ( v') e no apogeu ( v): v'(a-e)=v(a+e),em que e é a distância do centro da elipse até o foco (nota: isso significa que a excentricidade adimensional é \varepsilon=\dfrac{e}{a}).
  • As alternativas propostas são:
    A) E=-\dfrac{G M m}{2 a}
    B) E=-\dfrac{G M m}{2 b}
    C) E=-\dfrac{G M m}{2 e}
    D) E=-\dfrac{G M m}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
    E) v'=\sqrt{2 G M(a-e)}
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas acima é verdadeira dadas as informações.

Passo 2

Ideia geral e conceitos que vou usar (explicando cada um devagarinho):
  • Energia mecânica total por unidade de massa (energia específica) de uma órbita ligada num potencial gravitacional central é dada por \mathcal{E}=\frac{v^{2}}{2}-\frac{G M}{r},onde v é a velocidade da partícula no ponto em que sua distância ao foco é r. A energia total é E=m\mathcal{E}.
  • Para órbitas keplerianas (conicas) existe a relação universal chamada equação de vis-viva: v^{2}=G M\!\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).A consequência imediata é que a energia específica é constante e igual a \mathcal{E}=-\frac{G M}{2a}.Vou demonstrar essa última igualdade de forma direta e elementar usando conservação de energia e de momento angular, sem assumir a vis-viva como dado.
  • Definições geométricas da elipse (com a notação do enunciado, onde e é a distância centro–foco): \varepsilon=\frac{e}{a}\quad(\text{excentricidade adimensional}),distâncias do foco nos pontos extremos: r_{\text{perigeu}}=r_{p}=a(1-\varepsilon)=a-e, \qquad r_{\text{apogeu}}=r_{a}=a(1+\varepsilon)=a+e.
  • Para uma elipse, o semieixo menor satisfaz b^{2}=a^{2}(1-\varepsilon^{2})=a^{2}-e^{2}.
  • O momento angular específico (por unidade de massa) é h=r v_{\perp}; nos extremos (perigeu e apogeu) a velocidade é perpendicular ao raio, então h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}. A relação dada no enunciado é exatamente essa conservação de h.
Vou agora usar essas ideias para obter uma expressão fechada para \mathcal{E} (e, em seguida, para E).

Passo 3

Expressar o momento angular específico h em termos dos parâmetros da elipse.
  • Definir o parâmetro da órbita (semi-latus rectum) p. Para uma configuração kepleriana existe a relação p=\frac{h^{2}}{G M}.Além disso, para uma elipse com excentricidade \varepsilon vale p=a(1-\varepsilon^{2}).Substituindo p obtemos h^{2}=G M\,p=G M\,a(1-\varepsilon^{2}).
  • Usando b^{2}=a^{2}(1-\varepsilon^{2}) obtemos uma forma útil: h^{2}=G M\,\frac{b^{2}}{a}.Essa expressão relaciona o momento angular específico h com a e b.

Passo 4

Calcular a energia específica \mathcal{E} usando os valores no perigeu (passo a passo, sem pular contas).
  • No perigeu a velocidade é puramente transversal e vale v_{p}=h/r_{p}. A energia específica é \mathcal{E}=\frac{v_{p}^{2}}{2}-\frac{G M}{r_{p}} =\frac{1}{2}\frac{h^{2}}{r_{p}^{2}}-\frac{G M}{r_{p}}.
  • Substituir h^{2}=G M\,p=G M\,a(1-\varepsilon^{2}) e r_{p}=a(1-\varepsilon): \mathcal{E} =\frac{1}{2}\frac{G M\,a(1-\varepsilon^{2})}{\bigl(a(1-\varepsilon)\bigr)^{2}} -\frac{G M}{a(1-\varepsilon)}.
  • Simplificar passo a passo. Primeiro fator comum G M: \mathcal{E}=G M\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{a(1-\varepsilon^{2})}{a^{2}(1-\varepsilon)^{2}} -\frac{1}{a(1-\varepsilon)}\right].Reduzindo fatores de a: \mathcal{E}=G M\left[\frac{1}{2a}\cdot\frac{1-\varepsilon^{2}}{(1-\varepsilon)^{2}} -\frac{1}{a(1-\varepsilon)}\right].
  • Colocar sobre um denominador comum 2a(1-\varepsilon)^{2}: \mathcal{E}= \frac{G M}{2a(1-\varepsilon)^{2}}\Bigl(1-\varepsilon^{2}-2(1-\varepsilon)\Bigr).
  • Calcular o conteúdo do parêntese: 1-\varepsilon^{2}-2(1-\varepsilon)=1-\varepsilon^{2}-2+2\varepsilon = -1 -\varepsilon^{2}+2\varepsilon = -\bigl(1-2\varepsilon+\varepsilon^{2}\bigr) = -(1-\varepsilon)^{2}.
  • Então \mathcal{E}= \frac{G M}{2a(1-\varepsilon)^{2}}\bigl(-(1-\varepsilon)^{2}\bigr) =-\frac{G M}{2a}.
  • Conclusão imediata: a energia específica (por unidade de massa) é \mathcal{E}=-\frac{G M}{2a},independente do ponto da órbita onde se calcula (como deve ser para uma órbita ligada).

Passo 5

Passar da energia específica para a energia total E.
  • A energia total da lua de massa m é E=m\mathcal{E}. Logo E=m\!\left(-\frac{G M}{2a}\right) = -\frac{G M m}{2a}.
  • Essa expressão coincide exatamente com a alternativa A.

Passo 6

Checagem rápida das outras alternativas (comentário breve e intuitivo):
  • B) usaria b em vez de a: incorreto porque a energia é determinada pelo semi-eixo maior a, não por b.
  • C) e D) têm formas dimensionais/geométricas diferentes e não batem com a relação derivada acima.
  • E) propõe v'=\sqrt{2GM(a-e)}: dimensionalmente isso está errado (dentro da raiz ficaria GM\times comprimento, que não tem dimensão de velocidade ao quadrado), além de não derivar de conservação de energia/impulso para órbitas elípticas.
Portanto a alternativa correta é a A.

Resposta

A

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