Uma lua de massa
de um planeta distante, de massa
, descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a e semieixo menor
, perfazendo um sistema de energia
. A lei das áreas de Kepler relaciona a velocidade
da lua no apogeu com sua velocidade
no perigeu, isto é,
, em que e é a medida do centro ao foco da elipse. Nessas condições, podemos afirmar que
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante):
- Uma lua de massa
orbita um planeta de massa , com . - A órbita é elíptica com semieixo maior
e semieixo menor . - A energia total do sistema (energia mecânica da lua no campo do planeta) é
. - A lei das áreas de Kepler implica a relação entre as velocidades no perigeu (
) e no apogeu ( ): em que é a distância do centro da elipse até o foco (nota: isso significa que a excentricidade adimensional é ). - As alternativas propostas são:
A)
B)
C)
D)
E)
O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas acima é verdadeira dadas as informações.
Passo 2
Ideia geral e conceitos que vou usar (explicando cada um devagarinho):
- Energia mecânica total por unidade de massa (energia específica) de uma órbita ligada num potencial gravitacional central é dada por
onde é a velocidade da partícula no ponto em que sua distância ao foco é . A energia total é . - Para órbitas keplerianas (conicas) existe a relação universal chamada equação de vis-viva:
A consequência imediata é que a energia específica é constante e igual a Vou demonstrar essa última igualdade de forma direta e elementar usando conservação de energia e de momento angular, sem assumir a vis-viva como dado. - Definições geométricas da elipse (com a notação do enunciado, onde
é a distância centro–foco): distâncias do foco nos pontos extremos: - Para uma elipse, o semieixo menor satisfaz
- O momento angular específico (por unidade de massa) é
; nos extremos (perigeu e apogeu) a velocidade é perpendicular ao raio, então . A relação dada no enunciado é exatamente essa conservação de .
Vou agora usar essas ideias para obter uma expressão fechada para
(e, em seguida, para
).
Passo 3
Expressar o momento angular específico
em termos dos parâmetros da elipse.
- Definir o parâmetro da órbita (semi-latus rectum)
. Para uma configuração kepleriana existe a relação Além disso, para uma elipse com excentricidade vale Substituindo obtemos - Usando
obtemos uma forma útil: Essa expressão relaciona o momento angular específico com e .
Passo 4
Calcular a energia específica
usando os valores no perigeu (passo a passo, sem pular contas).
- No perigeu a velocidade é puramente transversal e vale
. A energia específica é - Substituir
e : - Simplificar passo a passo. Primeiro fator comum
: Reduzindo fatores de : - Colocar sobre um denominador comum
: - Calcular o conteúdo do parêntese:
- Então
- Conclusão imediata: a energia específica (por unidade de massa) é
independente do ponto da órbita onde se calcula (como deve ser para uma órbita ligada).
Passo 5
Passar da energia específica para a energia total
.
- A energia total da lua de massa
é . Logo - Essa expressão coincide exatamente com a alternativa A.
Passo 6
Checagem rápida das outras alternativas (comentário breve e intuitivo):
- B) usaria
em vez de : incorreto porque a energia é determinada pelo semi-eixo maior , não por . - C) e D) têm formas dimensionais/geométricas diferentes e não batem com a relação derivada acima.
- E) propõe
: dimensionalmente isso está errado (dentro da raiz ficaria comprimento, que não tem dimensão de velocidade ao quadrado), além de não derivar de conservação de energia/impulso para órbitas elípticas.
Portanto a alternativa correta é a A.
Resposta
A