Uma esfera metálica inicialmente a
é submersa em água a
. Considere
.
a) Justifique o uso do método da capacitância concentrada.
b) Escreva a equação governante da variação da temperatura.
a) Justifique o uso do método da capacitância concentrada.
b) Escreva a equação governante da variação da temperatura.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados do enunciado:
- Uma esfera metálica tem temperatura inicial
. - Ela é submersa em água cuja temperatura de imersão (meio ambiente) é
. - Foi dado que
(número de Biot menor que ).
- Uma esfera metálica tem temperatura inicial
- O que o enunciado pede:
- (a) Justificar o uso do método da capacitância concentrada (também chamado método de lumped capacitance).
- (b) Escrever a equação governante da variação da temperatura da esfera ao longo do tempo.
Passo 2
Explicar o que é o número de Biot e como ele se calcula (passo didático curto e claro).
- Definição: o número de Biot
é a razão entre a resistência térmica interna por condução e a resistência térmica externa por convecção. A fórmula usual é
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície da esfera e a água ( ); -
é a condutividade térmica do material da esfera ( ); -
é o comprimento característico do sólido, definido como razão entre volume e área da superfície:
- Para uma esfera de raio
:
Passo 3
Interpretar fisicamente a condição
e por que isso justifica o método da capacitância concentrada.
- Física por trás:
compara as resistências térmicas interna e externa. Quando (praticamente ), a resistência interna por condução é muito pequena em relação à resistência de convecção na superfície. Isso significa que a condução interna é rápida e a temperatura no interior do corpo praticamente não varia espacialmente — a esfera aquece/esfria quase “todo junto”. - Consequência prática: se não há gradientes de temperatura intrínsecos importantes dentro do sólido, podemos tratá-lo como tendo uma única temperatura homogênea dependente só do tempo:
. Isso é exatamente a hipótese do método da capacitância concentrada (lumped capacitance): temperatura espacial uniforme dentro do corpo. - Portanto, a condição dada
é a condição padrão usada em transferência de calor para aceitar a hipótese de temperatura uniforme e usar o método de capacitância concentrada.
Passo 4
Montar o balanço energético (a equação diferencial) sob a hipótese de temperatura uniforme na esfera — passo a passo e explicado.
- Conceito: energia interna do sólido varia por causa do fluxo convectivo na superfície. Escreve-se balanço de energia (primeira lei da termodinâmica, sem geração interna):
onde
é a potência térmica removida (ou adicionada) por convecção na superfície.
- Expressões das quantidades:
- Energia interna do corpo (assumindo temperatura uniforme):
, onde -
massa da esfera ( ); -
calor específico do material ( ); -
temperatura uniforme ao longo do tempo.
-
- Potência convectiva (Lei de Newton do resfriamento):
, onde -
é a área superficial ( ); -
é a temperatura do fluido distante ( ou ).
-
- Energia interna do corpo (assumindo temperatura uniforme):
- Substituindo no balanço:
- Como
e são constantes:
Passo 5
Colocar a equação na forma padrão e identificar as constantes físicas; explico cada símbolo novamente e introduzo densidade e volume se for útil.
- Substituindo
(onde é densidade e volume), a equação fica:
- Isolando
:
- Aqui:
-
é a constante de decaimento (coeficiente de resfriamento) com unidade . - Pode-se definir a constante de tempo térmico (time constant)
-
de modo que a equação se escreva compactamente como
Passo 6
Resolver a equação diferencial (processo padrão, passo a passo) e dar a solução explícita.
- A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes; resolve-se por separação de variáveis ou por reconhecer decaimento exponencial.
- Separando variáveis e integrando desde
com até tempo com :
- As integrais dão:
- Exponenciando:
- Reescrevendo com os parâmetros físicos:
- Para a esfera em particular, usando
, o coeficiente simplifica para
Assim a solução para uma esfera de raio
fica
e a constante de tempo correspondente é
Passo 7
Resumo final e reforço didático curto (ânimo e dica prática).
- Resumo: por
podemos assumir que a esfera tem temperatura espacialmente uniforme e usar o método de capacitância concentrada. O balanço de energia leva à equação diferencial exponencial de resfriamento dada acima; é a forma que se usa em prova: lembrar de identificar , , e . - Dica para prova: se pedirem só a equação governante, escreva a forma diferencial
e, se pedirem solução explícita, escreva a solução exponencial com a constante de tempo
.
Resposta
a) Pode-se usar o método da capacitância concentrada porque
, o que significa que a resistência térmica interna por condução é desprezível perante a resistência convectiva na superfície; assim a temperatura interna da esfera é praticamente homogênea e depende só do tempo.
b) Equação governante (forma diferencial):
b) Equação governante (forma diferencial):
Solução explícita:
com constante de tempo
. Para esfera de raio
isso é