Uma esfera metálica inicialmente a 180^{\circ} \mathrm{C} é submersa em água a 25^{\circ} \mathrm{C}. Considere \mathrm{Bi}<0,1.
a) Justifique o uso do método da capacitância concentrada.
b) Escreva a equação governante da variação da temperatura.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Uma esfera metálica tem temperatura inicial \,T_i=180^\circ\mathrm{C}\,.
    • Ela é submersa em água cuja temperatura de imersão (meio ambiente) é \,T_\infty=25^\circ\mathrm{C}\,.
    • Foi dado que \mathrm{Bi}<0,1 (número de Biot menor que 0,1).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Justificar o uso do método da capacitância concentrada (também chamado método de lumped capacitance).
    • (b) Escrever a equação governante da variação da temperatura da esfera ao longo do tempo.

Passo 2

Explicar o que é o número de Biot e como ele se calcula (passo didático curto e claro).
  • Definição: o número de Biot \mathrm{Bi} é a razão entre a resistência térmica interna por condução e a resistência térmica externa por convecção. A fórmula usual é
\mathrm{Bi}=\dfrac{h\,L_c}{k},
onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície da esfera e a água ( \mathrm{W/(m^2\!·K)});
  • k é a condutividade térmica do material da esfera ( \mathrm{W/(m·K)});
  • L_c é o comprimento característico do sólido, definido como razão entre volume e área da superfície:
L_c=\dfrac{V}{A}.
  • Para uma esfera de raio R:
V=\dfrac{4}{3}\pi R^3,\qquad A=4\pi R^2\quad\Rightarrow\quad L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{R}{3}.

Passo 3

Interpretar fisicamente a condição \mathrm{Bi}<0,1 e por que isso justifica o método da capacitância concentrada.
  • Física por trás: \mathrm{Bi} compara as resistências térmicas interna e externa. Quando \mathrm{Bi}\ll 1 (praticamente <0,1), a resistência interna por condução é muito pequena em relação à resistência de convecção na superfície. Isso significa que a condução interna é rápida e a temperatura no interior do corpo praticamente não varia espacialmente — a esfera aquece/esfria quase “todo junto”.
  • Consequência prática: se não há gradientes de temperatura intrínsecos importantes dentro do sólido, podemos tratá-lo como tendo uma única temperatura homogênea dependente só do tempo: \,T=T(t)\,. Isso é exatamente a hipótese do método da capacitância concentrada (lumped capacitance): temperatura espacial uniforme dentro do corpo.
  • Portanto, a condição dada \mathrm{Bi}<0,1 é a condição padrão usada em transferência de calor para aceitar a hipótese de temperatura uniforme e usar o método de capacitância concentrada.

Passo 4

Montar o balanço energético (a equação diferencial) sob a hipótese de temperatura uniforme na esfera — passo a passo e explicado.
  • Conceito: energia interna do sólido varia por causa do fluxo convectivo na superfície. Escreve-se balanço de energia (primeira lei da termodinâmica, sem geração interna):
\frac{dE_\text{int}}{dt} = -\dot{Q}_\text{conv},
onde \dot{Q}_\text{conv} é a potência térmica removida (ou adicionada) por convecção na superfície.
  • Expressões das quantidades:
    • Energia interna do corpo (assumindo temperatura uniforme): E_\text{int}=m c\, T(t), onde
      • m massa da esfera ( \mathrm{kg});
      • c calor específico do material ( \mathrm{J/(kg\!·K)});
      • T(t) temperatura uniforme ao longo do tempo.
    • Potência convectiva (Lei de Newton do resfriamento): \dot{Q}_\text{conv}=h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr), onde
      • A é a área superficial ( \mathrm{m^2});
      • T_\infty é a temperatura do fluido distante ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
  • Substituindo no balanço:
\frac{d}{dt}\bigl(m c\, T(t)\bigr) = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
  • Como m e c são constantes:
m c\;\frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T-T_\infty\bigr).

Passo 5

Colocar a equação na forma padrão e identificar as constantes físicas; explico cada símbolo novamente e introduzo densidade e volume se for útil.
  • Substituindo m=\rho V (onde \rho é densidade e V volume), a equação fica:
\rho V c\;\frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T-T_\infty\bigr).
  • Isolando \dfrac{dT}{dt}:
\frac{dT}{dt} = -\dfrac{h A}{\rho V c}\,\bigl(T-T_\infty\bigr).
  • Aqui:
    • \dfrac{h A}{\rho V c} é a constante de decaimento (coeficiente de resfriamento) com unidade \mathrm{s^{-1}}.
    • Pode-se definir a constante de tempo térmico (time constant)
\tau=\dfrac{\rho V c}{h A},
de modo que a equação se escreva compactamente como
\frac{dT}{dt} = -\dfrac{1}{\tau}\bigl(T-T_\infty\bigr).

Passo 6

Resolver a equação diferencial (processo padrão, passo a passo) e dar a solução explícita.
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes; resolve-se por separação de variáveis ou por reconhecer decaimento exponencial.
  • Separando variáveis e integrando desde t=0 com T(0)=T_i até tempo t com T(t):
\int_{T_i}^{T(t)}\dfrac{dT}{T-T_\infty} = -\int_{0}^{t}\dfrac{dt'}{\tau}.
  • As integrais dão:
\ln\!\bigl(T(t)-T_\infty\bigr)-\ln\!\bigl(T_i-T_\infty\bigr) = -\dfrac{t}{\tau}.
  • Exponenciando:
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{t}{\tau}\Bigr).
  • Reescrevendo com os parâmetros físicos:
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h A}{\rho V c}\,t\Bigr).
  • Para a esfera em particular, usando V/A = L_c = R/3, o coeficiente \dfrac{h A}{\rho V c} simplifica para
\dfrac{h A}{\rho V c}=\dfrac{h}{\rho c}\cdot\dfrac{A}{V}=\dfrac{h}{\rho c}\cdot\dfrac{3}{R}=\dfrac{3h}{\rho c R}.
Assim a solução para uma esfera de raio R fica
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{3h}{\rho c R}\,t\Bigr),
e a constante de tempo correspondente é
\tau=\dfrac{\rho c R}{3h}.

Passo 7

Resumo final e reforço didático curto (ânimo e dica prática).
  • Resumo: por \mathrm{Bi}<0,1 podemos assumir que a esfera tem temperatura espacialmente uniforme e usar o método de capacitância concentrada. O balanço de energia leva à equação diferencial exponencial de resfriamento dada acima; é a forma que se usa em prova: lembrar de identificar m=\rho V, A, h e c.
  • Dica para prova: se pedirem só a equação governante, escreva a forma diferencial
\boxed{\,\rho V c\,\dfrac{dT}{dt}=-h A\bigl(T-T_\infty\bigr)\,}
e, se pedirem solução explícita, escreva a solução exponencial com a constante de tempo \tau.

Resposta

a) Pode-se usar o método da capacitância concentrada porque \mathrm{Bi}=\dfrac{hL_c}{k}<0,1, o que significa que a resistência térmica interna por condução é desprezível perante a resistência convectiva na superfície; assim a temperatura interna da esfera é praticamente homogênea e depende só do tempo.
b) Equação governante (forma diferencial):
\rho V c\;\frac{dT}{dt}=-h A\bigl(T-T_\infty\bigr).
Solução explícita:
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{h A}{\rho V c}\,t\Bigr),
com constante de tempo \tau=\dfrac{\rho V c}{h A}. Para esfera de raio R isso é
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\dfrac{3h}{\rho c R}\,t\Bigr)

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