Uma parede plana de concreto, com espessura de 0,20 \mathrm{~m} e condutividade térmica de 1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, separa dois ambientes a 30^{\circ} \mathrm{C} e 10^{\circ} \mathrm{C}.
a) Determine o fluxo de calor por unidade de área.
b) Calcule a taxa total de transferência de calor para uma área de 12 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Espessura da parede: \,L=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do concreto: \,k=1{,}4\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Temperaturas dos dois ambientes: lado quente \,T_{\text{quente}}=30^{\circ}\mathrm{C} e lado frio \,T_{\text{frio}}=10^{\circ}\mathrm{C}.
  • Área para a parte (b): \,A=12\\ \mathrm{m}^{2}.
As perguntas são:
a) Determinar o fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial, também chamado de densidade de fluxo térmico).
b) Calcular a taxa total de transferência de calor através de uma área de \,12\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Para condução de calor unidimensional, em regime estacionário, a lei de Fourier diz que o fluxo de calor por unidade de área \,\dot{q}'' é proporcional ao gradiente de temperatura:
\dot{q}'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • \dot{q}'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W\,m^{-2}}).
  • k é a condutividade térmica do material (unidade: \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}).
  • dT/dx é o gradiente de temperatura ao longo da espessura (unidade: \mathrm{K\,m^{-1}}).
  • O sinal negativo indica que o calor fluxo do lado mais quente para o mais frio (decreasing temperature).
Para uma parede plana homogênea com temperaturas constantes nas faces e gradiente linear, o gradiente pode ser escrito como (T_{\text{frio}}-T_{\text{quente}})/L. Tomando o valor absoluto (magnitude) do fluxo do quente para o frio:
\dot{q}'' = k\,\frac{\Delta T}{L},
onde \Delta T = T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}.

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura \Delta T.
\Delta T = T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}} = 30^{\circ}\mathrm{C}-10^{\circ}\mathrm{C}=20\\ \mathrm{K}.
Observação: diferença em graus Celsius é numericamente igual em kelvin, por isso usamos \mathrm{K} para unidades de diferença.

Passo 4

Aplicar a fórmula para obter o fluxo por unidade de área.
Primeiro calcule o numerador k\Delta T:
k\Delta T = 1{,}4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \times 20\\ \mathrm{K} = 28\\ \mathrm{W\,m^{-1}}.
Agora divida pela espessura L:
\dot{q}'' = \frac{k\Delta T}{L} = \frac{28\\ \mathrm{W\,m^{-1}}}{0{,}20\\ \mathrm{m}} = 140\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Verificação de unidades: \mathrm{W\,m^{-1}}/\mathrm{m}=\mathrm{W\,m^{-2}} — ok.
Interpretação: o fluxo de calor tem magnitude \,140\\ \mathrm{W\,m^{-2}} e ocorre do ambiente a 30^{\circ}\mathrm{C} para o de 10^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a taxa total de transferência de calor através da área dada.
A taxa total (potência térmica) é o fluxo por unidade de área multiplicado pela área:
\dot{Q} = \dot{q}''\times A = 140\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\times 12\\ \mathrm{m^{2}} = 1680\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática (ânimo!).
  • O resultado significa que, para cada metro quadrado da parede, \,140\\ \mathrm{W} são transferidos do lado mais quente para o mais frio.
  • Para uma parede de \,12\\ \mathrm{m}^{2}, a casa (ou ambiente) perde 1680\\ \mathrm{W} por condução através dessa parede — uma potência significativa, então isolar melhor reduziria esse valor.

Resposta

\dot{q}''=140\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\dot{Q}=1680\\ \mathrm{W}

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