Uma placa de material isolante com espessura 2d é orientada de modo que suas faces fiquem paralelas ao plano yz e sejam dadas pelos planos x=d e x=-d. As dimensões da placa nas direções y e z são muito maiores que d , de modo que podem ser consideradas infinitas. A placa possui uma densidade de carga uniforme \rho=5,0 \times 10^{-9} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. (a) Explique por que o campo elétrico no centro da barra (x=0) é igual a zero. (b) Usando a lei de Gauss, determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em todos os pontos do espaço. (c) Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância de 0,80 \mathrm{~m} desta placa, determine o trabalho feito sobre o elétron pelo campo elétrico da placa enquanto o elétron se desloca a partir de sua posição inicial até um ponto a 0,050 \mathrm{~m} de distância da placa. (d) Qual é a velocidade escalar do elétron quando está a 0,050 \mathrm{~m} de distância da placa?

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma placa (lâmina) isolante com espessura 2d; suas faces estão nos planos x=d e x=-d.
  • As dimensões nas direções y e z são muito maiores que d (podemos tratar como infinitas).
  • Densidade volumétrica de carga uniforme \rho = 5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
    O que o enunciado pede:
    (a) explicar por que o campo elétrico no centro ( x=0) é zero;
    (b) usando a lei de Gauss, determinar módulo, direção e sentido do campo elétrico em todo o espaço (isto é, para |x|<d e |x|\ge d);
    (c) um elétron é liberado do repouso a uma distância 0{,}80\\ \mathrm{m} da placa e vai até a 0{,}050\\ \mathrm{m} da placa: calcular o trabalho feito SOBRE o elétron pelo campo elétrico da placa durante esse deslocamento;
    (d) achar a velocidade escalar do elétron quando está a 0{,}050\\ \mathrm{m} da placa.
Observações iniciais úteis (que usarei depois): carga do elétron e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (mas seu sinal é q=-e), e permissividade do vácuo \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}. Não foram dados valores numéricos para d, então as respostas das partes (c) e (d) ficarão em função de d (vou também apresentar a forma numérica por metro de d).

Passo 2

(a) Por que o campo elétrico no centro ( x=0) é zero — explicação por simetria, passo a passo didático:
  • A distribuição de carga é uniforme e a lâmina é simétrica em relação ao plano x=0 (o material existe igualmente para x>0 e x<0).
  • Cada pequena porção de carga localizada em x=+x_0 tem uma porção simétrica idêntica em x=-x_0.
  • O campo elétrico gerado por uma parcela de carga em +x_0 no ponto x=0 aponta para fora da carga (para +x se a carga for positiva); o campo gerado pela parcela simétrica em -x_0 tem mesma magnitude, mas direção oposta (para -x).
  • Assim, somando vetorialmente todos os contributions, as componentes em x se cancelam no ponto x=0, e, por simetria das dimensões infinitas em y,z, não existe componente nos outros eixos. Logo o campo resultante é nulo:
\mathbf{E}(0)=\mathbf{0}.

Passo 3

(b) Determinar o campo usando a lei de Gauss — ensinando a lei e aplicando passo a passo.
Lembra da lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume limitado por \mathcal{S}.
Passo a passo do método para esta geometria:
  • Por simetria translacional nas direções y e z, o campo só pode depender de x e apontar na direção \hat{\mathbf{x}} (ou seja, \mathbf{E}(x)=E(x)\,\hat{\mathbf{x}}).
  • Escolho uma superfície de Gauss em forma de “paralelepípedo” (pamelinha) com faces normais paralelas ao plano yz: uma face em x=+x e outra em x=-x, área de cada face A. Laterais contribuem zero porque \mathbf{E} é paralelo às normais das faces frontais e ortogonal às laterais.
  • Calcularei separadamente para dois casos: (i) ponto dentro da lâmina ( |x|<d); (ii) ponto fora da lâmina ( |x|\ge d).
Caso 1: ponto dentro da lâmina ( |x|<d).
  • A carga encerrada pela superfície que vai de -x a +x é a carga volumétrica dentro desse intervalo:
Q_{\text{int}} = \rho \times (\text{volume encerrado}) = \rho \cdot (2x A).
  • O fluxo total pela superfície é a soma das contribuições das duas faces frontais; como o campo tem magnitude E(x) e é perpendicular a cada face, o fluxo total é
\Phi = E(x)A + E(x)A = 2E(x)A.
  • Pela lei de Gauss:
2E(x)A = \frac{\rho (2x A)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}.
  • Como definimos \mathbf{E} na direção \hat{\mathbf{x}}, a forma vetorial é
\mathbf{E}(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \text{para }|x|<d.
Observação sobre o sinal: para x>0 esse resultado dá E>0 (campo apontando para +x, ou seja, para fora do centro), e para x<0 E<0 (apontando para -x), que é exatamente o comportamento esperado para carga positiva.
Caso 2: ponto fora da lâmina ( |x|\ge d).
  • Se o ponto está fora, a superfície de Gauss que contém toda a lâmina encerrará toda a carga da lâmina. A carga total por unidade de área é \sigma_{\text{efet}}=\rho\cdot (2d), então a carga total dentro do paralelepípedo de área A é
Q_{\text{int}}=\rho(2d)A.
  • O fluxo ainda é 2E A (duas faces frontais), portanto
2E A = \frac{\rho(2d)A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}.
  • Vetorialmente,
\mathbf{E}(x)=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \text{para }x\ge d,
\mathbf{E}(x)=-\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \text{para }x\le -d.
Ou de forma compacta usando o sinal de x:
\mathbf{E}(x)=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(x)\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \text{para }|x|\ge d.
Comentário físico final (resumo do comportamento):
  • Dentro ( |x|<d): campo cresce linearmente com |x| a partir de zero no centro até um valor \rho d/\varepsilon_0 nas faces.
  • Fora ( |x|\ge d): campo é constante (como se a lâmina total tivesse carga superficial \sigma=\rho\cdot 2d), com direção radial (no eixo x) apontando para fora da lâmina quando \rho>0.

Passo 4

Vou escrever de forma clara e final as expressões do campo (isso é útil na prova; memorize a forma peça por peça):
  • Para |x|<d (dentro da lâmina):
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.}
  • Para |x|\ge d (fora da lâmina):
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(x)=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(x)\,\hat{\mathbf{x}},}
onde \operatorname{sgn}(x)=+1 se x>0 e -1 se x<0. (No plano x=0 vale \mathbf{E}=\mathbf{0}.)
Essas fórmulas dão módulo, direção e sentido do campo em todo o espaço.

Passo 5

(c) Trabalho feito sobre o elétron ao mover-se de 0{,}80\\ \mathrm{m} até 0{,}050\\ \mathrm{m} da placa — explicação e cálculo.
Interpretação de “distância da placa”: vou entender que as distâncias dadas são medidas a partir da superfície da placa (isto é, a uma distância s da face x=d quando o elétron está no lado direito). Assim, se o elétron está do lado direito da lâmina, sua coordenada x é x=d+s. As duas posições dadas (inicial s_i=0{,}80\\ \mathrm{m} e final s_f=0{,}050\\ \mathrm{m}) são ambas fora da lâmina, portanto o campo entre esses pontos é o campo externo constante:
\mathbf{E}_{\text{fora}}=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}.
Força sobre o elétron: \mathbf{F}=q\mathbf{E} = (-e)\mathbf{E}.
Trabalho realizado PELO campo sobre a carga q ao deslocar-se de x_i até x_f é
W=\int_{x_i}^{x_f} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = q\int_{x_i}^{x_f} E(x)\,dx.
Como E é constante fora e igual a \rho d/\varepsilon_0, temos
W = q \, E_{\text{fora}} \, (x_f-x_i).
Agora escriba as coordenadas em termos das distâncias da superfície: x_i=d+0{,}80, x_f=d+0{,}050. Então x_f-x_i = (d+0{,}050)-(d+0{,}80) = -0{,}75\\ \mathrm{m}. Substituindo q=-e e E_{\text{fora}}=\rho d/\varepsilon_0,
W = (-e)\cdot\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\cdot(-0{,}75) = e\cdot\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\cdot 0{,}75.
Portanto o trabalho feito PELO campo sobre o elétron é positivo (o elétron é atraído em direção à placa carregada positivamente).
Escrevendo de forma compacta:
\boxed{W = \frac{0{,}75\,e\,\rho\,d}{\varepsilon_0}.}
Agora avalio numericamente o fator multiplicativo (por metro de d): substituindo e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \rho=5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^3} e \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)},
W \approx (6{,}79\times10^{-17})\,d\\ \text{joules},
ou seja,
\boxed{W\approx 6{,}79\times10^{-17}\,d\\ \mathrm{J},}
com d em metros. (Se quiser um número específico, é preciso fornecer d.)

Passo 6

(d) Velocidade escalar do elétron a 0{,}050\\ \mathrm{m} da placa — explicação usando conservação de energia.
  • O elétron parte do repouso, então energia cinética inicial K_i=0. O trabalho realizado pelo campo sobre o elétron W se transforma em energia cinética final K_f:
K_f = W.
  • Energia cinética final do elétron: K_f=\dfrac{1}{2}m_e v^2, onde m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Igualando:
\frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{0{,}75\,e\,\rho\,d}{\varepsilon_0}.
  • Resolvo para v:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}75\,e\,\rho\,d}{\varepsilon_0\,m_e}} =\sqrt{\frac{1{,}5\,e\,\rho\,d}{\varepsilon_0\,m_e}} =\sqrt{\frac{3\,e\,\rho\,d}{2\,\varepsilon_0\,m_e}}.
Essa é a velocidade escalar em função de d. Escrevendo a forma numérica por metro de d, com os valores das constantes:
v\approx 1{,}22\times10^{7}\,\sqrt{d}\\ \mathrm{m/s},
onde d está em metros e a unidade resultante é \mathrm{m/s}.
Observações numéricas: por exemplo, se d=10^{-2}\\ \mathrm{m} (espessura total 2d=0{,}20\\ \mathrm{m}), então
v\approx 1{,}22\times10^{7}\sqrt{10^{-2}}=1{,}22\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \mathbf{E}(0)=\mathbf{0}.
(b) \displaystyle \mathbf{E}(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{x}}\quad\text{para }|x|<d,\qquad \displaystyle \mathbf{E}(x)=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}\,\operatorname{sgn}(x)\,\hat{\mathbf{x}}\quad\text{para }|x|\ge d.
(c) \displaystyle W=\frac{0{,}75\,e\,\rho\,d}{\varepsilon_0}\approx 6{,}79\times10^{-17}\,d\\ \mathrm{J}.
(d) \displaystyle v=\sqrt{\frac{3\,e\,\rho\,d}{2\,\varepsilon_0\,m_e}}\approx 1{,}22\times10^{7}\sqrt{d}\\ \mathrm{m/s}.

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