Uma placa de material isolante com espessura 2d é orientada de modo que suas faces fiquem paralelas ao plano yz e sejam dadas pelos planos
e
. As dimensões da placa nas direções y e
são muito maiores que d , de modo que podem ser consideradas infinitas. A placa possui uma densidade de carga uniforme
. (a) Explique por que o campo elétrico no centro da barra
é igual a zero. (b) Usando a lei de Gauss, determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em todos os pontos do espaço. (c) Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância de
desta placa, determine o trabalho feito sobre o elétron pelo campo elétrico da placa enquanto o elétron se desloca a partir de sua posição inicial até um ponto a
de distância da placa. (d) Qual é a velocidade escalar do elétron quando está a
de distância da placa?
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma placa (lâmina) isolante com espessura
; suas faces estão nos planos e . - As dimensões nas direções
e são muito maiores que (podemos tratar como infinitas). - Densidade volumétrica de carga uniforme
.
O que o enunciado pede:
(a) explicar por que o campo elétrico no centro () é zero;
(b) usando a lei de Gauss, determinar módulo, direção e sentido do campo elétrico em todo o espaço (isto é, parae );
(c) um elétron é liberado do repouso a uma distânciada placa e vai até a da placa: calcular o trabalho feito SOBRE o elétron pelo campo elétrico da placa durante esse deslocamento;
(d) achar a velocidade escalar do elétron quando está ada placa.
Observações iniciais úteis (que usarei depois): carga do elétron
(mas seu sinal é
), e permissividade do vácuo
. Não foram dados valores numéricos para
, então as respostas das partes (c) e (d) ficarão em função de
(vou também apresentar a forma numérica por metro de
).
Passo 2
(a) Por que o campo elétrico no centro (
) é zero — explicação por simetria, passo a passo didático:
- A distribuição de carga é uniforme e a lâmina é simétrica em relação ao plano
(o material existe igualmente para e ). - Cada pequena porção de carga localizada em
tem uma porção simétrica idêntica em . - O campo elétrico gerado por uma parcela de carga em
no ponto aponta para fora da carga (para se a carga for positiva); o campo gerado pela parcela simétrica em tem mesma magnitude, mas direção oposta (para ). - Assim, somando vetorialmente todos os contributions, as componentes em
se cancelam no ponto , e, por simetria das dimensões infinitas em , não existe componente nos outros eixos. Logo o campo resultante é nulo:
Passo 3
(b) Determinar o campo usando a lei de Gauss — ensinando a lei e aplicando passo a passo.
Lembra da lei de Gauss (forma integral): para uma superfície fechada qualquer,
onde
é a carga total contida no volume limitado por
.
Passo a passo do método para esta geometria:
- Por simetria translacional nas direções
e , o campo só pode depender de e apontar na direção (ou seja, ). - Escolho uma superfície de Gauss em forma de “paralelepípedo” (pamelinha) com faces normais paralelas ao plano
: uma face em e outra em , área de cada face . Laterais contribuem zero porque é paralelo às normais das faces frontais e ortogonal às laterais. - Calcularei separadamente para dois casos: (i) ponto dentro da lâmina (
); (ii) ponto fora da lâmina ( ).
Caso 1: ponto dentro da lâmina (
).
- A carga encerrada pela superfície que vai de
a é a carga volumétrica dentro desse intervalo:
- O fluxo total pela superfície é a soma das contribuições das duas faces frontais; como o campo tem magnitude
e é perpendicular a cada face, o fluxo total é
- Pela lei de Gauss:
- Como definimos
na direção , a forma vetorial é
Observação sobre o sinal: para
esse resultado dá
(campo apontando para
, ou seja, para fora do centro), e para
dá
(apontando para
), que é exatamente o comportamento esperado para carga positiva.
Caso 2: ponto fora da lâmina (
).
- Se o ponto está fora, a superfície de Gauss que contém toda a lâmina encerrará toda a carga da lâmina. A carga total por unidade de área é
, então a carga total dentro do paralelepípedo de área é
- O fluxo ainda é
(duas faces frontais), portanto
- Vetorialmente,
Ou de forma compacta usando o sinal de
:
Comentário físico final (resumo do comportamento):
- Dentro (
): campo cresce linearmente com a partir de zero no centro até um valor nas faces. - Fora (
): campo é constante (como se a lâmina total tivesse carga superficial ), com direção radial (no eixo ) apontando para fora da lâmina quando .
Passo 4
Vou escrever de forma clara e final as expressões do campo (isso é útil na prova; memorize a forma peça por peça):
- Para
(dentro da lâmina):
- Para
(fora da lâmina):
onde
se
e
se
. (No plano
vale
.)
Essas fórmulas dão módulo, direção e sentido do campo em todo o espaço.
Passo 5
(c) Trabalho feito sobre o elétron ao mover-se de
até
da placa — explicação e cálculo.
Interpretação de “distância da placa”: vou entender que as distâncias dadas são medidas a partir da superfície da placa (isto é, a uma distância
da face
quando o elétron está no lado direito). Assim, se o elétron está do lado direito da lâmina, sua coordenada
é
. As duas posições dadas (inicial
e final
) são ambas fora da lâmina, portanto o campo entre esses pontos é o campo externo constante:
Força sobre o elétron:
.
Trabalho realizado PELO campo sobre a carga
ao deslocar-se de
até
é
Como
é constante fora e igual a
, temos
Agora escriba as coordenadas em termos das distâncias da superfície:
,
. Então
. Substituindo
e
,
Portanto o trabalho feito PELO campo sobre o elétron é positivo (o elétron é atraído em direção à placa carregada positivamente).
Escrevendo de forma compacta:
Agora avalio numericamente o fator multiplicativo (por metro de
): substituindo
,
e
,
ou seja,
com
em metros. (Se quiser um número específico, é preciso fornecer
.)
Passo 6
(d) Velocidade escalar do elétron a
da placa — explicação usando conservação de energia.
- O elétron parte do repouso, então energia cinética inicial
. O trabalho realizado pelo campo sobre o elétron se transforma em energia cinética final :
- Energia cinética final do elétron:
, onde . - Igualando:
- Resolvo para
:
Essa é a velocidade escalar em função de
. Escrevendo a forma numérica por metro de
, com os valores das constantes:
onde
está em metros e a unidade resultante é
.
Observações numéricas: por exemplo, se
(espessura total
), então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)