Uma esfera metálica oca de raio externo
, raio interno
e carga total positiva
possui em seu interior uma esfera metálica maciça de raio
e carga total negativa
, concêntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de
e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, deduza a expressão literal para o campo elétrico para todo o espaço e depois determine o valor do campo elétrico na posição
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas esferas metálicas concêntricas:
- Esfera oca: raio externo $ b = 0,600 , m $, raio interno $ a = 0,400 , m $, com carga total positiva $ 3Q $.
- Esfera maciça: raio $ R = 7,65 , cm $ (que é $ 0,0765 , m $), com carga total negativa $ -2Q $.
Queremos deduzir a expressão para o campo elétrico em todo o espaço e depois calcular o campo na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $.
Para resolver isso, vamos usar Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com simetria esférica. Precisaremos considerar diferentes regiões ao redor das esferas para determinar o campo elétrico em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as diferentes regiões onde precisamos encontrar o campo elétrico:
- Dentro da esfera maciça (r < R): Aqui, estamos dentro do material da esfera maciça.
- Entre a esfera maciça e o interior da esfera oca (R < r < a): Nesta região, estamos entre as duas esferas.
- Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b): Aqui, estamos dentro da parte oca da esfera metálica.
- Fora da esfera oca (r > b): Nesta área, estamos fora de todas as esferas.
Vamos analisar cada região usando a Lei de Gauss.
Passo 3
Região 1: Dentro da esfera maciça (r < R)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Porém, como a esfera é maciça e tem carga, precisamos considerar como a carga está distribuída. Em um condutor metálico, a carga se distribui na superfície.
Então, para $ r < R $, o campo elétrico $ E = 0 $.
Passo 4
Região 2: Entre a esfera maciça e o interior da esfera oca (R < r < a)
Aqui, estamos fora da esfera maciça de carga $ -2Q $ e dentro da cavidade da esfera oca. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico depende apenas da carga interna.
A carga total dentro de uma superfície gaussiana nessa região é $ -2Q $.
O campo elétrico é dado por:
Simplificando:
Passo 5
Região 3: Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b)
Nessa região, além da carga $ -2Q $ da esfera interna, a esfera oca tem carga total $ 3Q $. Como a esfera oca é condutora, a carga se distribui somente nas superfícies internas e externas.
A carga total na superfície interna da esfera oca será igual à carga da esfera interna para neutralizar o campo dentro do condutor. Assim, a carga na superfície interna da esfera oca é $ +2Q $.
A carga restante $ 3Q - 2Q = Q $ fica na superfície externa da esfera oca.
Agora, para $ a < r < b
-2Q
+2Q $), totalizando $ 0 $.
Portanto, o campo elétrico $ E = 0 $ nessa região.
Passo 6
Região 4: Fora da esfera oca (r > b)
Aqui, estamos fora de ambas as esferas. A carga total encerrada por uma superfície gaussiana é a soma das cargas das duas esferas:
Então, o campo elétrico é:
Passo 7
Agora, vamos resumir as expressões do campo elétrico para todo o espaço:
Passo 8
Por fim, vamos calcular o campo elétrico na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $.
Primeiro, identificamos em qual região essa posição está:
Está na Região 3, onde o campo elétrico é zero.
Resposta
O campo elétrico na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $ é zero.