Uma esfera metálica oca de raio externo b=0,600 m, raio interno a=0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma esfera metálica maciça de raio R=7,65 cm e carga total negativa -2Q, concêntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q=4 pi varepsilon0 Vm e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, deduza a expressão literal para o campo elétrico para todo o espaço e depois determine o valor do campo elétrico na posição r2=0,571 m i.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas esferas metálicas concêntricas:
  1. Esfera oca: raio externo $ b = 0,600 , m $, raio interno $ a = 0,400 , m $, com carga total positiva $ 3Q $.
  2. Esfera maciça: raio $ R = 7,65 , cm $ (que é $ 0,0765 , m $), com carga total negativa $ -2Q $.
Queremos deduzir a expressão para o campo elétrico em todo o espaço e depois calcular o campo na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $.
Para resolver isso, vamos usar Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com simetria esférica. Precisaremos considerar diferentes regiões ao redor das esferas para determinar o campo elétrico em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as diferentes regiões onde precisamos encontrar o campo elétrico:
  1. Dentro da esfera maciça (r < R): Aqui, estamos dentro do material da esfera maciça.
  2. Entre a esfera maciça e o interior da esfera oca (R < r < a): Nesta região, estamos entre as duas esferas.
  3. Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b): Aqui, estamos dentro da parte oca da esfera metálica.
  4. Fora da esfera oca (r > b): Nesta área, estamos fora de todas as esferas.
Vamos analisar cada região usando a Lei de Gauss.

Passo 3

Região 1: Dentro da esfera maciça (r < R)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Porém, como a esfera é maciça e tem carga, precisamos considerar como a carga está distribuída. Em um condutor metálico, a carga se distribui na superfície.
Então, para $ r < R $, o campo elétrico $ E = 0 $.

Passo 4

Região 2: Entre a esfera maciça e o interior da esfera oca (R < r < a)
Aqui, estamos fora da esfera maciça de carga $ -2Q $ e dentro da cavidade da esfera oca. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico depende apenas da carga interna.
A carga total dentro de uma superfície gaussiana nessa região é $ -2Q $.
O campo elétrico é dado por:
-2Q
Simplificando:
-2Q

Passo 5

Região 3: Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b)
Nessa região, além da carga $ -2Q $ da esfera interna, a esfera oca tem carga total $ 3Q $. Como a esfera oca é condutora, a carga se distribui somente nas superfícies internas e externas.
A carga total na superfície interna da esfera oca será igual à carga da esfera interna para neutralizar o campo dentro do condutor. Assim, a carga na superfície interna da esfera oca é $ +2Q $.
A carga restante $ 3Q - 2Q = Q $ fica na superfície externa da esfera oca.
Agora, para $ a < r < b -2Q úíéç -2Q 3Q í +2Q $), totalizando $ 0 $.
Portanto, o campo elétrico $ E = 0 $ nessa região.

Passo 6

Região 4: Fora da esfera oca (r > b)
Aqui, estamos fora de ambas as esferas. A carga total encerrada por uma superfície gaussiana é a soma das cargas das duas esferas:
Qtotal = 3Q + (-2Q) = Q
Então, o campo elétrico é:
E(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2

Passo 7

Agora, vamos resumir as expressões do campo elétrico para todo o espaço:
E(r) = 0 & para r < R -2Q4pivarepsilon0 r^2 & para R < r < a 0 & para a < r < b Q4pivarepsilon0 r^2 & para r > b

Passo 8

Por fim, vamos calcular o campo elétrico na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $.
Primeiro, identificamos em qual região essa posição está:
r2 = 0,571 , m , i
a = 0,400 , m e b = 0,600 , m
Está na Região 3, onde o campo elétrico é zero.

Resposta

O campo elétrico na posição $ \vec{r}_2 = 0,571 , m , \hat{i} $ é zero.

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