Uma esfera metálica oca de raio externo
, raio interno
e carga total positiva
possui em seu interior uma esfera metálica maciça de raio
e carga total negativa
, concêntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de
e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, encontre a expressão literal para a diferença de potencial entre
e
e depois calcule seu módulo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos saber para resolver. Temos duas esferas metálicas concêntricas: uma externa oca com raio interno
e raio externo
, carregada com uma carga total positiva de
. Dentro dela, há uma esfera metálica maciça com raio
(que é igual a
) e carga total negativa de
. Queremos encontrar a diferença de potencial elétrico entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída nas esferas. Como as esferas são metálicas, as cargas vão se distribuir nas suas superfícies. A esfera interna, sendo maciça, tem carga
distribuída na sua superfície externa. A esfera oca externa tem carga total
. Como a esfera interna tem carga
, vai induzir uma carga igual e oposta na superfície interna da esfera oca, ou seja,
. Assim, a superfície externa da esfera oca terá a carga restante, que é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Vamos considerar três regiões:
-
Dentro da esfera metálica maciça (
): O campo elétrico aqui depende apenas da carga dentro do raio . Como estamos dentro da esfera metálica maciça com carga , o campo é dado por: -
Entre as esferas (
): Aqui, a carga total dentro de uma superfície gaussiana é (da esfera interna). Então, o campo elétrico é: -
Fora da região interna da esfera oca (
): Agora, além da carga da esfera interna, temos a carga na superfície interna da esfera oca, totalizando zero carga líquida dentro dessa região. Portanto, o campo elétrico é nulo:
Passo 4
Com o campo elétrico determinado, vamos calcular a diferença de potencial elétrico entre os pontos
e
. A diferença de potencial
é dada pela integral do campo elétrico:
Como o campo elétrico entre
e
é
, substituímos na integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos. Sabemos que
,
e
. Substituindo na expressão:
Simplificando os termos:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A diferença de potencial entre
e
é dada por:
Calculando seu módulo, obtemos: