Uma esfera metálica oca de raio externo b=0,600 m, raio interno a=0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma esfera metálica maciça de raio R=7,65 cm e carga total negativa -2Q, concêntrica com a esfera oca, de acordo com a figura. Considerando o valor de Q=4 pi varepsilon0 Vm e o centro das esferas na origem do sistema de coordenadas, encontre a expressão literal para a diferença de potencial entre R e a e depois calcule seu módulo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos saber para resolver. Temos duas esferas metálicas concêntricas: uma externa oca com raio interno a = 0,400, m e raio externo b = 0,600, m, carregada com uma carga total positiva de 3Q. Dentro dela, há uma esfera metálica maciça com raio R = 7,65, cm (que é igual a 0,0765, m) e carga total negativa de -2Q. Queremos encontrar a diferença de potencial elétrico entre os pontos R e a. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída nas esferas. Como as esferas são metálicas, as cargas vão se distribuir nas suas superfícies. A esfera interna, sendo maciça, tem carga -2Q distribuída na sua superfície externa. A esfera oca externa tem carga total 3Q. Como a esfera interna tem carga -2Q, vai induzir uma carga igual e oposta na superfície interna da esfera oca, ou seja, +2Q. Assim, a superfície externa da esfera oca terá a carga restante, que é 3Q - 2Q = +Q.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico nas diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Vamos considerar três regiões:
  1. Dentro da esfera metálica maciça ( r < R): O campo elétrico aqui depende apenas da carga dentro do raio r. Como estamos dentro da esfera metálica maciça com carga -2Q, o campo é dado por:
    Einterno(r) = 14pi varepsilon0 cdot -2Qr^2
  2. Entre as esferas ( R < r < a): Aqui, a carga total dentro de uma superfície gaussiana é -2Q (da esfera interna). Então, o campo elétrico é:
    Eentre(r) = 14pi varepsilon0 cdot -2Qr^2
  3. Fora da região interna da esfera oca ( a < r < b): Agora, além da carga -2Q da esfera interna, temos a carga +2Q na superfície interna da esfera oca, totalizando zero carga líquida dentro dessa região. Portanto, o campo elétrico é nulo:
    Efora(r) = 0

Passo 4

Com o campo elétrico determinado, vamos calcular a diferença de potencial elétrico entre os pontos R e a. A diferença de potencial V(a) - V(R) é dada pela integral do campo elétrico:
V(a) - V(R) = -integralR^a E(r) , dr
Como o campo elétrico entre R e a é E(r) = 14pi varepsilon0 cdot -2Qr^2, substituímos na integral:
V(a) - V(R) = -integralR^a ( 14pi varepsilon0 cdot -2Qr^2 ) dr

Passo 5

Vamos resolver a integral:
V(a) - V(R) = --2Q4pi varepsilon0 integralR^a 1r^2 dr = 2Q4pi varepsilon0 [ -1r ]R^a
V(a) - V(R) = 2Q4pi varepsilon0 ( -1a + 1R ) = 2Q4pi varepsilon0 ( 1R - 1a )
Simplificando:
V(a) - V(R) = Q2pi varepsilon0 ( 1R - 1a )

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos. Sabemos que Q = 4pi varepsilon0, Vm, R = 0,0765, m e a = 0,400, m. Substituindo na expressão:
V(a) - V(R) = 4pi varepsilon02pi varepsilon0 ( 10,0765 - 10,400 )
Simplificando os termos:
V(a) - V(R) = 2 ( 10,0765 - 10,400 )
Calculando os valores:
10,0765 approx 13,07 e 10,400 = 2,5
Então:
V(a) - V(R) = 2 (13,07 - 2,5) = 2 times 10,57 = 21,14, V

Resposta

A diferença de potencial entre R e a é dada por:
V(a) - V(R) = Q2pi varepsilon0 ( 1R - 1a )
Calculando seu módulo, obtemos:
|V(a) - V(R)| approx 21,14, V

Exercícios relacionados