Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 6,62 cm. A carga no capacitor cresce a uma taxa de 19,8 C / s. Encontre a expressāo literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante 1,98 cm do eixo dos discos?

Passo 1

Vamos resolver um problema de eletromagnetismo envolvendo capacitores. Temos um capacitor com placas circulares paralelas de raio 6,62,cm, e a carga no capacitor está aumentando a uma taxa de 19,8,C/s. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a variação do campo magnético em função da distância radial e calcular o valor do campo magnético em um ponto entre as placas, a 1,98,cm do eixo dos discos. Para isso, vamos precisar usar as leis de Maxwell, especialmente a Lei de Ampère-Maxwell que relaciona campos elétricos e magnéticos.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a carga no capacitor está aumentando, o que significa que o campo elétrico entre as placas também está mudando com o tempo. De acordo com a correção de Maxwell à Lei de Ampère, uma mudança no campo elétrico gera um campo magnético. A Lei de Ampère-Maxwell é dada por:
nabla times B = mu0 ( J + epsilon0 partial Epartial t )
Como não há corrente real ( J = 0) entre as placas, apenas a corrente de deslocamento é considerada:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t

Passo 3

Para encontrar o campo magnético B em um ponto a uma distância radial r do eixo, vamos considerar a simetria circular do problema. Aplicando a Lei de Ampère-Maxwell em um caminho circular de raio r, temos:
oint B cdot dl = mu0 epsilon0 dPhiEdt
Aqui, PhiE é o fluxo do campo elétrico através da área do caminho.

Passo 4

Calculamos o fluxo elétrico PhiE. O campo elétrico entre as placas de um capacitor plano é:
E = sigmaepsilon0
onde sigma é a densidade de carga superficial. Como a carga está aumentando a uma taxa dQdt = 19,8,C/s, a densidade de carga também está aumentando.
O fluxo elétrico é então:
PhiE = E cdot pi r^2 = sigmaepsilon0 pi r^2
Derivando em relação ao tempo:
dPhiEdt = 1epsilon0 pi r^2 dsigmadt

Passo 5

A taxa de variação da densidade de carga dsigmadt está relacionada à taxa de variação da carga total:
dQdt = d(sigma cdot pi R^2)dt = pi R^2 dsigmadt
Isolando dsigmadt:
dsigmadt = 1pi R^2 dQdt
Substituindo na expressão do fluxo elétrico:
dPhiEdt = 1epsilon0 pi r^2 ( 1pi R^2 dQdt ) = r^2epsilon0 R^2 dQdt

Passo 6

Voltando à Lei de Ampère-Maxwell:
oint B cdot dl = B cdot 2pi r = mu0 epsilon0 r^2epsilon0 R^2 dQdt
Simplificando:
B cdot 2pi r = mu0 r^2R^2 dQdt

Passo 7

Isolando B:
B = mu0 r2pi R^2 dQdt
Essa é a expressão para a variação do campo magnético em função da distância radial r.

Resposta

Para r = 1,98,cm, substituindo os valores:
B = (4pi times 10^-7,T,m/A) times 0,0198,m2pi (0,0662,m)^2 times 19,8,C/s
Simplificando:
B approx 5,68 times 10^-6,T
O campo magnético no ponto é aproximadamente 5,68 times 10^-6,Tesla.

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