Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio
. A carga no capacitor cresce a uma taxa de
. Encontre a expressāo literal para variação do campo magnético em função do raio e responda:
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante
do eixo dos discos?
Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante
Passo 1
Vamos resolver um problema de eletromagnetismo envolvendo capacitores. Temos um capacitor com placas circulares paralelas de raio
, e a carga no capacitor está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a variação do campo magnético em função da distância radial e calcular o valor do campo magnético em um ponto entre as placas, a
do eixo dos discos. Para isso, vamos precisar usar as leis de Maxwell, especialmente a Lei de Ampère-Maxwell que relaciona campos elétricos e magnéticos.
Passo 2
Primeiro, entendemos que a carga no capacitor está aumentando, o que significa que o campo elétrico entre as placas também está mudando com o tempo. De acordo com a correção de Maxwell à Lei de Ampère, uma mudança no campo elétrico gera um campo magnético. A Lei de Ampère-Maxwell é dada por:
Como não há corrente real (
) entre as placas, apenas a corrente de deslocamento é considerada:
Passo 3
Para encontrar o campo magnético
em um ponto a uma distância radial
do eixo, vamos considerar a simetria circular do problema. Aplicando a Lei de Ampère-Maxwell em um caminho circular de raio
, temos:
Aqui,
é o fluxo do campo elétrico através da área do caminho.
Passo 4
Calculamos o fluxo elétrico
. O campo elétrico entre as placas de um capacitor plano é:
onde
é a densidade de carga superficial. Como a carga está aumentando a uma taxa
, a densidade de carga também está aumentando.
O fluxo elétrico é então:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 5
A taxa de variação da densidade de carga
está relacionada à taxa de variação da carga total:
Isolando
:
Substituindo na expressão do fluxo elétrico:
Passo 6
Voltando à Lei de Ampère-Maxwell:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Essa é a expressão para a variação do campo magnético em função da distância radial
.
Resposta
Para
, substituindo os valores:
Simplificando:
O campo magnético no ponto é aproximadamente
.