Uma esfera metálica de raio
e carga
está envolvida por uma casca esférica metálica de raio interno
externo
. Encontre o potencial no centro da estrutura. Todo a estrutura encontra-se no ar.
Passo 1
O enunciado fala de uma esfera metálica sólida de raio
com carga
, envolvida por uma casca esférica metálica isolante, cujos raios interno e externo são
e
(com
). Queremos o potencial elétrico no centro da montagem, sabendo que todo o sistema está no ar (permitividade (\varepsilon_{0}$). Para resolver, vamos usar:
- Lei de Gauss para determinar como as cargas se distribuem nas superfícies metálicas.
- A constatação de que, dentro de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático, o potencial é constante.
- A expressão do potencial de uma carga esférica esparsa em pontos internos e externos.)
Passo 2
Como a esfera interna tem carga
e a casca externa é um condutor isolado (sem carga livre adicional), a indução faz surgir:
- na face interna da casca (raio
) carga ; - na face externa da casca (raio
) carga .
Assim, as cargas efetivas são:
Passo 3
Para um ponto no interior de uma casca esférica carregada, o campo devido às cargas na casca é zero, mas o potencial é o mesmo de uma carga pontual localizada no centro com valor igual à carga total da casca, avaliada na distância até as superfícies. No centro (distância zero de todas):
- contribuição da esfera em
: como estamos emr=a , o potencial vem de fora e valer<a ;14pivarepsilon0Qa - contribuição da superfície interna da casca em
: emr=b valer<b ;14pivarepsilon0-,Qb - contribuição da superfície externa da casca em
: emr=c valer<c .14pivarepsilon0+,Qc
Passo 4
Somando todas as contribuições, o potencial no centro é