Uma esfera metálica de raio a e carga Q(Q>0) está envolvida por uma casca esférica metálica de raio interno b externo c(a<b<c). Encontre o potencial no centro da estrutura. Todo a estrutura encontra-se no ar.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera metálica sólida de raio a com carga Q>0, envolvida por uma casca esférica metálica isolante, cujos raios interno e externo são b e c (com a<b<c). Queremos o potencial elétrico no centro da montagem, sabendo que todo o sistema está no ar (permitividade (\varepsilon_{0}$). Para resolver, vamos usar:
  • Lei de Gauss para determinar como as cargas se distribuem nas superfícies metálicas.
  • A constatação de que, dentro de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático, o potencial é constante.
  • A expressão do potencial de uma carga esférica esparsa em pontos internos e externos.)

Passo 2

Como a esfera interna tem carga Q e a casca externa é um condutor isolado (sem carga livre adicional), a indução faz surgir:
  • na face interna da casca (raio b) carga -Q;
  • na face externa da casca (raio c) carga +Q.
    Assim, as cargas efetivas são:
esfera sólida em r=a: +Q, superfície interna da casca em r=b: -Q, superfície externa da casca em r=c: +Q óíí

Passo 3

Para um ponto no interior de uma casca esférica carregada, o campo devido às cargas na casca é zero, mas o potencial é o mesmo de uma carga pontual localizada no centro com valor igual à carga total da casca, avaliada na distância até as superfícies. No centro (distância zero de todas):
  • contribuição da esfera em r=a: como estamos em r<a, o potencial vem de fora e vale 14pivarepsilon0Qa;
  • contribuição da superfície interna da casca em r=b: em r<b vale 14pivarepsilon0-,Qb;
  • contribuição da superfície externa da casca em r=c: em r<c vale 14pivarepsilon0+,Qc.

Passo 4

Somando todas as contribuições, o potencial no centro é
V(0) =14pivarepsilon0gl(Qa -Qb +Qcgr) =Q4pivarepsilon0l(1a-1b+1cr)

Resposta

Vcentro =Q4pivarepsilon0l(1a-1b+1cr)

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