Uma esfera oca, de raio interno igual a 8 cm e raio externo igual a 9 cm , flutua submersa pela metade em um líquido de densidade
. (a) Qual a massa da esfera?(b) Calcule a densidade do material de que ele é feita.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a massa da esfera oca;
(b) a densidade do material de que a esfera é feita.
(a) a massa da esfera oca;
(b) a densidade do material de que a esfera é feita.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- raio interno
; - raio externo
; - densidade do líquido
; - a esfera flutua com metade do volume submerso (isto é, a fração submersa é
).
Vou trabalhar no sistema SI: transformar centímetros em metros antes de calcular volumes.
Passo 2
Princípio físico que usamos (Arquímedes) — explicação didática:
- A força de empuxo
sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado:
onde
é a densidade do líquido,
é o volume do líquido deslocado e
é a aceleração da gravidade.
- Quando o corpo flutua em equilíbrio, o empuxo iguala o peso do corpo:
Cancelando
em ambos os lados fica a relação prática que usaremos:
Explicação: a massa do objeto é exatamente a massa do líquido que ele desloca enquanto flutua.
Passo 3
Volume deslocado
:
- A esfera externa (a forma que ocupa o líquido) tem volume total externo
onde
é o raio externo.
- Como está submersa pela metade (metade do volume total externa está abaixo da superfície), então
Antes de calcular, converto raios para metros:
Passo 4
Cálculo do volume externo passo a passo:
Numérico:
Portanto o volume deslocado é metade disso:
Passo 5
Cálculo da massa da esfera usando
:
Interpretação: a massa do conjunto (a casca oca) é igual à massa do fluido que corresponde ao volume submerso.
Passo 6
Agora achamos a densidade do material da esfera. Primeiro calculamos o volume do material (volume da casca):
- Volume interno
Cálculo:
- Volume da casca (material)
Passo 7
Densidade do material
é massa do objeto dividida pelo volume do material:
Arredondando de forma razoável,
(ou
).
Resposta
(a)
(b)
(b)