Uma esfera oca, de raio interno igual a 8 cm e raio externo igual a 9 cm , flutua submersa pela metade em um líquido de densidade 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. (a) Qual a massa da esfera?(b) Calcule a densidade do material de que ele é feita.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a massa da esfera oca;
(b) a densidade do material de que a esfera é feita.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • raio interno =8\\ \text{cm};
  • raio externo =9\\ \text{cm};
  • densidade do líquido =800\\ \text{kg}/\text{m}^3;
  • a esfera flutua com metade do volume submerso (isto é, a fração submersa é 1/2).
Vou trabalhar no sistema SI: transformar centímetros em metros antes de calcular volumes.

Passo 2

Princípio físico que usamos (Arquímedes) — explicação didática:
  • A força de empuxo E sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado:
E=\rho_{\text{líq}}\;V_{\text{desloc}}\;g,í
onde \rho_{\text{líq}}í é a densidade do líquido, V_{\text{desloc}} é o volume do líquido deslocado e g é a aceleração da gravidade.
  • Quando o corpo flutua em equilíbrio, o empuxo iguala o peso do corpo:
E= m_{\text{corpo}}\;g.
Cancelando g em ambos os lados fica a relação prática que usaremos:
m_{\text{corpo}}=\rho_{\text{líq}}\;V_{\text{desloc}}.í
Explicação: a massa do objeto é exatamente a massa do líquido que ele desloca enquanto flutua.

Passo 3

Volume deslocado V_{\text{desloc}}:
  • A esfera externa (a forma que ocupa o líquido) tem volume total externo
V_{\text{ext}}=\frac{4}{3}\pi R^3,
onde R é o raio externo.
  • Como está submersa pela metade (metade do volume total externa está abaixo da superfície), então
V_{\text{desloc}}=\frac{1}{2}V_{\text{ext}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3.
Antes de calcular, converto raios para metros:
R=9\\ \text{cm}=0,09\\ \text{m},\qquad r=8\\ \text{cm}=0,08\\ \text{m}.

Passo 4

Cálculo do volume externo passo a passo:
R^3=(0,09)^3=0,000729\\ \text{m}^3,
V_{\text{ext}}=\frac{4}{3}\pi(0,09)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot0,000729=0,000972\pi\\ \text{m}^3.
Numérico:
V_{\text{ext}}\approx0,000972\cdot3{,}14159265\approx0,003053628\\ \text{m}^3.
Portanto o volume deslocado é metade disso:
V_{\text{desloc}}=\frac{1}{2}V_{\text{ext}}\approx0,001526814\\ \text{m}^3.

Passo 5

Cálculo da massa da esfera usando m=\rho_{\text{líq}}\,V_{\text{desloc}}í:
m=800\;\text{kg/m}^3\cdot0,001526814\\ \text{m}^3\approx1,221451\\ \text{kg}.
Interpretação: a massa do conjunto (a casca oca) é igual à massa do fluido que corresponde ao volume submerso.

Passo 6

Agora achamos a densidade do material da esfera. Primeiro calculamos o volume do material (volume da casca):
  • Volume interno
V_{\text{int}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(0,08)^3.
Cálculo:
(0,08)^3=0,000512,
V_{\text{int}}=\frac{4}{3}\pi\cdot0,000512\approx0,0006826667\pi\approx0,002144661\\ \text{m}^3.
  • Volume da casca (material)
V_{\text{casca}}=V_{\text{ext}}-V_{\text{int}}\approx0,003053628-0,002144661\approx0,000908967\\ \text{m}^3.

Passo 7

Densidade do material \rho_{\text{mat}} é massa do objeto dividida pelo volume do material:
\rho_{\text{mat}}=\frac{m}{V_{\text{casca}}}=\frac{1,221451\\ \text{kg}}{0,000908967\\ \text{m}^3}\approx1343{,}54\\ \text{kg/m}^3.
Arredondando de forma razoável, \rho_{\text{mat}}\approx1{,}344\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3 (ou 1344\\ \text{kg/m}^3).

Resposta

(a) m\approx1{,}221\\ \text{kg}
(b) \rho_{\text{mat}}\approx1{,}344\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3

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