7.75"Questão (2.0):
J) Jm pêndulo simples de massa M=5 \mathrm{~kg}, suspenso por um fio de 1 / 2 \mathrm{~m} de comprimento, é atingido no instante t=0 por uma bala de 20 g , viajando à velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que fica encravada nele. Encontre as seguintes propriedades: (i) periodo e frequência angular de oscilação; (ii) equação de movimento do pêndulo; (iii) o ångulo \boldsymbol{\theta}(t), em rad, entre o fio e a vertical.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Massa do pêndulo (corpo) M = 5\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do fio L = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m} = 0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Bala de massa m = 20\\ \mathrm{g} = 0{,}02\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da bala antes do impacto v_{\text{bala}} = 400\\ \mathrm{m/s}.
  • A bala fica encravada no pêndulo (colisão totalmente inelástica) no instante t=0.
  • A gravidade vale g \approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
(i) o período T e a frequência angular \omega de oscilação do pêndulo após o impacto;
(ii) a equação de movimento do pêndulo (a equação diferencial do tipo harmônico);
(iii) a função \theta(t) (em radianos), ou seja, o ângulo entre o fio e a vertical ao longo do tempo.

Passo 2

Conservação do momento linear no impacto (determinar a velocidade inicial do conjunto imediatamente após a colisão).
Explicação curta do conceito: numa colisão muito rápida, as forças externas (como a tensão do fio e o peso) atuam por tempo muito curto comparado ao da colisão, então o momento linear do sistema bala+pendulo é conservado durante a colisão. A fórmula da conservação do momento linear na direção do movimento é
m v_{\text{bala}} = (M + m) v_0,
onde v_0 é a velocidade do centro do pêndulo (com bala embutida) imediatamente após a colisão. Aqui:
  • m é a massa da bala;
  • v_{\text{bala}} é a velocidade da bala antes do impacto;
  • M+m é a massa total após a encaixe;
  • v_0 é a velocidade comum logo após o impacto.
Agora isolamos v_0:
v_0 = \frac{m\, v_{\text{bala}}}{M + m}.
Substituindo os números (todos em SI):
v_0 = \frac{0{,}02 \times 400}{5 + 0{,}02} = \frac{8}{5{,}02}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}593\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade inicial do conjunto (imediatamente após o impacto) é v_0 \approx 1{,}593\\ \mathrm{m/s}. Força um pouco rápida? Relaxa, é só uma conta de divisão.

Passo 3

Converter a velocidade linear v_0 numa velocidade angular inicial \dot{\theta}(0).
Explicação do conceito: o movimento do pêndulo é (aproximadamente) movimento circular de raio L. A relação entre velocidade linear tangencial v e velocidade angular \dot{\theta} é
v = L\,\dot{\theta}.
Isso vale exatamente para velocidade tangencial num movimento circular; aqui a bala dá ao pêndulo uma velocidade tangencial inicial quando parte do pêndulo está na vertical.
Logo a velocidade angular inicial imediata é
\dot{\theta}(0) = \frac{v_0}{L}.
Substituindo:
\dot{\theta}(0) = \frac{1{,}593}{0{,}5}\\ \mathrm{rad/s} \approx 3{,}186\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto \dot{\theta}(0)\approx 3{,}186\\ \mathrm{rad/s}. Observação: o ângulo inicial \theta(0) é zero (o pêndulo estava na vertical no momento do impacto), então as condições iniciais são \theta(0)=0 e \dot{\theta}(0) dado acima.

Passo 4

Equação do movimento do pêndulo (pegar a equação com aproximação de pequenos ângulos) — derivação e explicação.
Ideia física e derivação: para um pêndulo simples com massa concentrada na ponta (aqui massa total M+m), o torque devido ao peso em torno do ponto de suspensão é - (M+m) g L \sin\theta. O momento de inércia referente ao eixo de rotação (massa concentrada a distância L) é
I = (M + m)\,L^2.
A segunda lei rotacional (análogo de F=ma) diz
I\,\ddot{\theta} = \text{torque} = - (M + m) g L \sin\theta.
Dividindo por I e cancelando a massa total, obtemos
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.
Agora fazemos a aproximação de pequenos ângulos (aproximação usual em pêndulos para estudar pequenas oscilações):
\sin\theta \approx \theta \quad\text{quando }\theta\text{ está em radianos e é pequeno}.áé
Com isso a equação lineariza para a equação do oscilador harmônico simples:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
Observações importantes:
  • Note que a massa total (M+m) cancelou: a frequência do pêndulo (no limite de pequenos ângulos) não depende da massa, só do comprimento L e da gravidade g.
  • As variáveis: \theta(t) é o ângulo (em radianos), \ddot{\theta} é a segunda derivada temporal (aceleração angular).
Portanto a equação de movimento procurada é
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.

Passo 5

Frequência angular \omega e período T — fórmulas e cálculo numérico.
Para a equação
\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0
temos \omega^2 = \dfrac{g}{L}. Assim
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
E o período é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Substituindo L=0{,}5\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
\omega = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}5}} = \sqrt{19{,}6} \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s},
T = \frac{2\pi}{4{,}427} \approx 1{,}419\\ \mathrm{s}.
Portanto \omega \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s} e T \approx 1{,}419\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resolver a equação diferencial com as condições iniciais e obter \theta(t).
Equação homogênea de 2ª ordem com solução geral (para o oscilador harmônico simples):
\theta(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. As condições iniciais aqui são:
\theta(0) = 0,\qquad \dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0 \approx 3{,}186\\ \mathrm{rad/s}.
Aplicando \theta(0)=0:
0 = A\cos(0) + B\sin(0) \Rightarrow 0 = A \Rightarrow A = 0.
Derivando \theta(t):
\dot{\theta}(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
Com A=0, em t=0 fica
\dot{\theta}(0) = B\omega = \dot{\theta}_0 \Rightarrow B = \frac{\dot{\theta}_0}{\omega}.
Logo a solução particular com as condições dadas é
\theta(t) = \frac{\dot{\theta}_0}{\omega}\,\sin(\omega t).
Já calculamos \dot{\theta}_0 \approx 3{,}186\\ \mathrm{rad/s} e \omega \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s}, portanto a amplitude (valor máximo de \theta) é
\Theta_{\max} = \frac{\dot{\theta}_0}{\omega} \approx \frac{3{,}186}{4{,}427} \approx 0{,}720\\ \mathrm{rad}.
Logo a equação completa e numérica é
\theta(t) \approx 0{,}720\\ \sin\!\big(4{,}427\,t\big)\quad(\text{rad}),
onde t está em segundos.

Passo 7

Resumo das quantidades calculadas (valores aproximados e unidades), com breve interpretação para te deixar confiante.
  • Velocidade inicial do conjunto após impacto: v_0 \approx 1{,}593\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade angular inicial: \dot{\theta}(0) \approx 3{,}186\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência angular de oscilação: \omega = \sqrt{g/L} \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s}.
  • Período: T = 2\pi\sqrt{L/g} \approx 1{,}419\\ \mathrm{s}.
  • Amplitude angular máxima: \Theta_{\max} \approx 0{,}720\\ \mathrm{rad} (cerca de 41{,}2^\circ).
  • Equação do movimento: \ddot{\theta} + \dfrac{g}{L}\theta = 0.
  • Solução com as condições iniciais: \theta(t) = \dfrac{\dot{\theta}(0)}{\omega}\sin(\omega t) \approx 0{,}720\sin\!\big(4{,}427\,t\big) (rad).
Força tranquila: isso significa que o pêndulo começa vertical no instante t=0 e já sai com velocidade angular positiva, descrevendo uma senoide cujo máximo é cerca de 0{,}72 rad.

Resposta

(i) T \approx 1{,}419\\ \mathrm{s},\quad \omega \approx 4{,}427\\ \mathrm{rad/s}
(ii) \ddot{\theta} + \dfrac{g}{L}\,\theta = 0
(iii) \theta(t) = \dfrac{\dot{\theta}(0)}{\omega}\sin(\omega t) \approx 0{,}720\sin\!\big(4{,}427\,t\big)\\ \text{(rad)}

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