7.75"Questão (2.0):
J) Jm pêndulo simples de massa
, suspenso por um fio de
de comprimento, é atingido no instante
por uma bala de 20 g , viajando à velocidade de
, que fica encravada nele. Encontre as seguintes propriedades: (i) periodo e frequência angular de oscilação; (ii) equação de movimento do pêndulo; (iii) o ångulo
, em rad, entre o fio e a vertical.
J) Jm pêndulo simples de massa
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
- Massa do pêndulo (corpo)
. - Comprimento do fio
. - Bala de massa
. - Velocidade da bala antes do impacto
. - A bala fica encravada no pêndulo (colisão totalmente inelástica) no instante
. - A gravidade vale
.
O enunciado pede:
(i) o período e a frequência angular
de oscilação do pêndulo após o impacto;
(ii) a equação de movimento do pêndulo (a equação diferencial do tipo harmônico);
(iii) a função (em radianos), ou seja, o ângulo entre o fio e a vertical ao longo do tempo.
(i) o período
(ii) a equação de movimento do pêndulo (a equação diferencial do tipo harmônico);
(iii) a função
Passo 2
Conservação do momento linear no impacto (determinar a velocidade inicial do conjunto imediatamente após a colisão).
Explicação curta do conceito: numa colisão muito rápida, as forças externas (como a tensão do fio e o peso) atuam por tempo muito curto comparado ao da colisão, então o momento linear do sistema bala+pendulo é conservado durante a colisão. A fórmula da conservação do momento linear na direção do movimento é
onde
é a velocidade do centro do pêndulo (com bala embutida) imediatamente após a colisão. Aqui:
-
é a massa da bala; -
é a velocidade da bala antes do impacto; -
é a massa total após a encaixe; -
é a velocidade comum logo após o impacto.
Agora isolamos
:
Substituindo os números (todos em SI):
Portanto a velocidade inicial do conjunto (imediatamente após o impacto) é
. Força um pouco rápida? Relaxa, é só uma conta de divisão.
Passo 3
Converter a velocidade linear
numa velocidade angular inicial
.
Explicação do conceito: o movimento do pêndulo é (aproximadamente) movimento circular de raio
. A relação entre velocidade linear tangencial
e velocidade angular
é
Isso vale exatamente para velocidade tangencial num movimento circular; aqui a bala dá ao pêndulo uma velocidade tangencial inicial quando parte do pêndulo está na vertical.
Logo a velocidade angular inicial imediata é
Substituindo:
Portanto
. Observação: o ângulo inicial
é zero (o pêndulo estava na vertical no momento do impacto), então as condições iniciais são
e
dado acima.
Passo 4
Equação do movimento do pêndulo (pegar a equação com aproximação de pequenos ângulos) — derivação e explicação.
Ideia física e derivação: para um pêndulo simples com massa concentrada na ponta (aqui massa total
), o torque devido ao peso em torno do ponto de suspensão é
. O momento de inércia referente ao eixo de rotação (massa concentrada a distância
) é
A segunda lei rotacional (análogo de
) diz
Dividindo por
e cancelando a massa total, obtemos
Agora fazemos a aproximação de pequenos ângulos (aproximação usual em pêndulos para estudar pequenas oscilações):
Com isso a equação lineariza para a equação do oscilador harmônico simples:
Observações importantes:
- Note que a massa total
cancelou: a frequência do pêndulo (no limite de pequenos ângulos) não depende da massa, só do comprimento e da gravidade . - As variáveis:
é o ângulo (em radianos), é a segunda derivada temporal (aceleração angular).
Portanto a equação de movimento procurada é
Passo 5
Frequência angular
e período
— fórmulas e cálculo numérico.
Para a equação
temos
. Assim
E o período é
Substituindo
e
:
Portanto
e
.
Passo 6
Resolver a equação diferencial com as condições iniciais e obter
.
Equação homogênea de 2ª ordem com solução geral (para o oscilador harmônico simples):
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. As condições iniciais aqui são:
Aplicando
:
Derivando
:
Com
, em
fica
Logo a solução particular com as condições dadas é
Já calculamos
e
, portanto a amplitude (valor máximo de
) é
Logo a equação completa e numérica é
onde
está em segundos.
Passo 7
Resumo das quantidades calculadas (valores aproximados e unidades), com breve interpretação para te deixar confiante.
- Velocidade inicial do conjunto após impacto:
. - Velocidade angular inicial:
. - Frequência angular de oscilação:
. - Período:
. - Amplitude angular máxima:
(cerca de ). - Equação do movimento:
. - Solução com as condições iniciais:
(rad).
Força tranquila: isso significa que o pêndulo começa vertical no instante
e já sai com velocidade angular positiva, descrevendo uma senoide cujo máximo é cerca de
rad.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)