Um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
realiza um movimento harmônico simples. O período
do MHS é dado por
, onde
é uma constante adimensional. Determine os expoentes
e
e escreva a fórmula do período.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica realiza um movimento harmônico simples. - O período
do MHS é dado por , com (constante adimensional).
O que se pede:
- Determinar os expoentes
e . - Escrever a fórmula do período usando esses expoentes.
Passo 2
Estratégia: usar análise dimensional (isto é, igualar as dimensões físicas dos dois lados da igualdade). Vou explicar os passos e as dimensões de cada grandeza:
-
O período
tem dimensão de tempo, que escrevemos como . Então -
A massa
tem dimensão de massa, escrevemos . -
A constante elástica
da mola aparece na Lei de Hooke . Como tem dimensão de força e de comprimento, obtemos A força tem dimensão(massa × aceleração) e o comprimento tem dimensão . Cancelando , Entãotem dimensão de massa dividido por tempo ao quadrado.
Passo 3
Colocar as dimensões no lado direito da expressão
. Como
é adimensional, as dimensões da direita são:
Isso deve igualar a dimensão de
, que é
. Logo a igualdade dimensional é
Passo 4
Igualar expoentes das bases independentes
e
:
- Para
: . - Para
: .
Resolver
:
Usar
para achar
:
Passo 5
Substituir
e
na expressão original
com
:
Interpretação física curta: aumentar a massa aumenta o período (mais lento), aumentar a rigidez
diminui o período (mais rápido). Boa novidade: conseguimos a fórmula clássica do MHS por análise dimensional.