Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento harmônico simples. O período t do MHS é dado por t=C m^{\alpha} k^{\beta}, onde C =2 \pi é uma constante adimensional. Determine os expoentes \alpha e \beta e escreva a fórmula do período.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento harmônico simples.
  • O período t do MHS é dado por t = C\, m^{\alpha} k^{\beta}, com C = 2\pi (constante adimensional).
O que se pede:
  • Determinar os expoentes \alpha e \beta.
  • Escrever a fórmula do período usando esses expoentes.

Passo 2

Estratégia: usar análise dimensional (isto é, igualar as dimensões físicas dos dois lados da igualdade). Vou explicar os passos e as dimensões de cada grandeza:
  • O período t tem dimensão de tempo, que escrevemos como [T]. Então
    [t]=[T].
  • A massa m tem dimensão de massa, escrevemos [m]=[M].
  • A constante elástica k da mola aparece na Lei de Hooke F=-k x. Como F tem dimensão de força e x de comprimento, obtemos
    [k]=\frac{[F]}{[x]}.
    A força tem dimensão [F]=[M][L][T]^{-2} (massa × aceleração) e o comprimento tem dimensão [x]=[L]. Cancelando [L],
    [k]=[M][T]^{-2}.
    Então k tem dimensão de massa dividido por tempo ao quadrado.

Passo 3

Colocar as dimensões no lado direito da expressão t = C\, m^{\alpha} k^{\beta}. Como C é adimensional, as dimensões da direita são:
[m]^{\alpha}[k]^{\beta} = [M]^{\alpha} \bigl([M][T]^{-2}\bigr)^{\beta} = [M]^{\alpha+\beta}[T]^{-2\beta}.
Isso deve igualar a dimensão de t, que é [T]. Logo a igualdade dimensional é
[M]^{\alpha+\beta}[T]^{-2\beta} = [T]^1.

Passo 4

Igualar expoentes das bases independentes [M] e [T]:
  • Para [M]: \alpha+\beta = 0.
  • Para [T]: -2\beta = 1.
Resolver -2\beta = 1:
\beta = -\tfrac{1}{2}.
Usar \alpha+\beta=0 para achar \alpha:
\alpha = -\beta = -\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituir \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=-\tfrac{1}{2} na expressão original t = C\, m^{\alpha} k^{\beta} com C=2\pi:
t = 2\pi\, m^{1/2} k^{-1/2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.
Interpretação física curta: aumentar a massa aumenta o período (mais lento), aumentar a rigidez k diminui o período (mais rápido). Boa novidade: conseguimos a fórmula clássica do MHS por análise dimensional.

Resposta

\alpha=\tfrac{1}{2},\\ \beta=-\tfrac{1}{2}
t=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

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