Um foguete inicialmente com 1100 ton de massa aumenta sua velocidade de 1543,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para 2029,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} uniformemente. Suponha que a velocidade de exaustão dos gases seja constante e igual a 3,3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. Qual foi a quantidade de massa perdida pelo foguete durante a aceleração?
a) 202,0 ton
b) 222,0 ton
c) 142,0 ton
d) 162,0 ton
e) 182,0 ton

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a quantidade de massa perdida pelo foguete durante a aceleração.
Informações dadas (vou listar exatamente os dados que o enunciado dá):
m_0=1100\\ \text{ton} (massa inicial do foguete)
v_i=1543,0\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial)
v_f=2029,0\\ \mathrm{m/s} (velocidade final)
A velocidade de exaustão é constante e igual a v_e=3,3\\ \mathrm{km/s}.
Pergunta explícita: qual foi a massa perdida \Delta m = m_0 - m_f durante a aceleração? (O enunciado é de múltipla escolha com alternativas: a) 202,0 ton, b) 222,0 ton, c) 142,0 ton, d) 162,0 ton, e) 182,0 ton.)

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Quando um foguete ejeta uma pequena massa de gás, o sistema foguete+gases obedece à conservação do momento linear. A dedução padrão (equacionando variações diferenciais de massa e velocidade) leva à chamada equação do foguete de Tsiolkovsky. Vou explicar de forma simples e sem jargões:
  • Seja m(t) a massa do foguete no tempo t e v(t) sua velocidade.
  • Em um pequeno intervalo dt o foguete ejeta uma massa -dm (note que dm<0 porque a massa do foguete diminui). Os gases saem com velocidade relativa ao foguete de módulo v_e (velocidade de exaustão).
  • Aplicando conservação do momento linear para o instante imediatamente antes e depois da ejeção e tomando o limite dt\to0, obtém-se a relação diferencial (essa é a parte fundamental e útil para provas):
dv = v_e\;\frac{dm}{m}.
Observação sobre sinais: aqui tomei v_e como o módulo da velocidade de exaustão (positivo) e a forma acima é a que se integra diretamente levando à expressão final. Essa fórmula significa que uma pequena perda de massa dm causa um pequeno ganho de velocidade dv proporcional a v_e e à variação relativa da massa.
  • Integrando essa relação entre o estado inicial (m_0,v_i) e o final (m_f,v_f) obtemos a equação clássica:
\Delta v \equiv v_f-v_i = v_e \ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right).
Essa fórmula é a ferramenta que vamos usar: relaciona a variação de velocidade com a razão entre massas e a velocidade de exaustão. Vou agora aplicar essa fórmula com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular a variação de velocidade \Delta v:
\Delta v = v_f - v_i = 2029,0 - 1543,0 = 486,0\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo a velocidade de exaustão para as mesmas unidades (m/s):
v_e = 3,3\\ \mathrm{km/s} = 3300\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar a equação do foguete e isolar m_f. A equação é
\Delta v = v_e \ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right).
Isolando m_f:
\ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right) = \frac{\Delta v}{v_e} \quad\Rightarrow\quad \frac{m_0}{m_f} = \exp\!\left(\frac{\Delta v}{v_e}\right) \quad\Rightarrow\quad m_f = m_0 \exp\!\left(-\frac{\Delta v}{v_e}\right).

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Calcular o quociente no expoente:
\frac{\Delta v}{v_e} = \frac{486,0}{3300} = 0,1472727\ldots
Calcular e^{-\Delta v / v_e}. Uma aproximação suficiente para prova:
e^{-0,1472727\ldots} \approx 0,86306.
Portanto a massa final é
m_f = 1100 \times 0,86306 \approx 949,36\\ \text{ton}.
Logo a massa perdida é
\Delta m = m_0 - m_f = 1100 - 949,36 \approx 150,64\\ \text{ton}.
Interpretação: o cálculo direto pela equação do foguete dá uma perda de massa aproximada de 150,6 ton.

Passo 6

Comparação com as alternativas dadas. As opções são:
a) 202,0 ton, b) 222,0 ton, c) 142,0 ton, d) 162,0 ton, e) 182,0 ton.
O valor calculado 150,64 ton não coincide exatamente com nenhuma alternativa. Como a questão é de múltipla escolha e há exatamente uma alternativa correta, escolhemos a alternativa cujo valor numérico é o mais próximo do nosso resultado calculado. A distância entre 150,64 e cada alternativa é:
  • |150,64 − 202,0| = 51,36
  • |150,64 − 222,0| = 71,36
  • |150,64 − 142,0| = 8,64
  • |150,64 − 162,0| = 11,36
  • |150,64 − 182,0| = 31,36
A alternativa mais próxima é a c) 142,0 ton.

Resposta

c) 142,0\\ \text{ton}

Exercícios relacionados