Um foguete inicialmente com 1100 ton de massa aumenta sua velocidade de
para
uniformemente. Suponha que a velocidade de exaustão dos gases seja constante e igual a
. Qual foi a quantidade de massa perdida pelo foguete durante a aceleração?
a) 202,0 ton
b) 222,0 ton
c) 142,0 ton
d) 162,0 ton
e) 182,0 ton
a) 202,0 ton
b) 222,0 ton
c) 142,0 ton
d) 162,0 ton
e) 182,0 ton
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a quantidade de massa perdida pelo foguete durante a aceleração.
Informações dadas (vou listar exatamente os dados que o enunciado dá):
(massa inicial do foguete)
(velocidade inicial)
(velocidade final)
A velocidade de exaustão é constante e igual a .
Informações dadas (vou listar exatamente os dados que o enunciado dá):
A velocidade de exaustão é constante e igual a
Pergunta explícita: qual foi a massa perdida
durante a aceleração? (O enunciado é de múltipla escolha com alternativas: a)
ton, b)
ton, c)
ton, d)
ton, e)
ton.)
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Quando um foguete ejeta uma pequena massa de gás, o sistema foguete+gases obedece à conservação do momento linear. A dedução padrão (equacionando variações diferenciais de massa e velocidade) leva à chamada equação do foguete de Tsiolkovsky. Vou explicar de forma simples e sem jargões:
Quando um foguete ejeta uma pequena massa de gás, o sistema foguete+gases obedece à conservação do momento linear. A dedução padrão (equacionando variações diferenciais de massa e velocidade) leva à chamada equação do foguete de Tsiolkovsky. Vou explicar de forma simples e sem jargões:
- Seja
a massa do foguete no tempo e sua velocidade. - Em um pequeno intervalo
o foguete ejeta uma massa (note que porque a massa do foguete diminui). Os gases saem com velocidade relativa ao foguete de módulo (velocidade de exaustão). - Aplicando conservação do momento linear para o instante imediatamente antes e depois da ejeção e tomando o limite
, obtém-se a relação diferencial (essa é a parte fundamental e útil para provas):
Observação sobre sinais: aqui tomei
como o módulo da velocidade de exaustão (positivo) e a forma acima é a que se integra diretamente levando à expressão final. Essa fórmula significa que uma pequena perda de massa
causa um pequeno ganho de velocidade
proporcional a
e à variação relativa da massa.
- Integrando essa relação entre o estado inicial
e o final obtemos a equação clássica:
Essa fórmula é a ferramenta que vamos usar: relaciona a variação de velocidade com a razão entre massas e a velocidade de exaustão. Vou agora aplicar essa fórmula com os números do enunciado.
Passo 3
Calcular a variação de velocidade
:
Convertendo a velocidade de exaustão para as mesmas unidades (m/s):
Passo 4
Aplicar a equação do foguete e isolar
. A equação é
Isolando
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Calcular o quociente no expoente:
Calcular
. Uma aproximação suficiente para prova:
Portanto a massa final é
Logo a massa perdida é
Interpretação: o cálculo direto pela equação do foguete dá uma perda de massa aproximada de
ton.
Passo 6
Comparação com as alternativas dadas. As opções são:
a) ton, b)
ton, c)
ton, d)
ton, e)
ton.
a)
O valor calculado
ton não coincide exatamente com nenhuma alternativa. Como a questão é de múltipla escolha e há exatamente uma alternativa correta, escolhemos a alternativa cujo valor numérico é o mais próximo do nosso resultado calculado. A distância entre
e cada alternativa é:
- |150,64 − 202,0| = 51,36
- |150,64 − 222,0| = 71,36
- |150,64 − 142,0| = 8,64
- |150,64 − 162,0| = 11,36
- |150,64 − 182,0| = 31,36
A alternativa mais próxima é a c)
ton.
Resposta
c)