Um foguete deve ser lançado verticalmente para cima. A massa inicial é
, a velocidade de exaustão -
é constante e a taxa de exaustão
é constante. Após uma massa total
ser expelida, o motor fica sem combustível.
a) Desprezando a resistência do ar e assumindo que a aceleração da gravidade é constante, formule e resolva a equação do movimento.
b) Mostre que se
e
forem fixos, então quanto maior for a taxa de exaustão
, ou seja, quanto mais rápido o combustível for consimido, maior será a altitude atingida pelo foguete.
a) Desprezando a resistência do ar e assumindo que a aceleração da gravidade é constante, formule e resolva a equação do movimento.
b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo:
- Dados fornecidos:
e uma massa total expelida após a qual o motor pára.
Também nos dizem para desprezar resistência do ar e assumirconstante. - Condições iniciais (assumo as condições usuais para este tipo de problema, pois não foram explicitadas):
- Perguntas:
(a) Formular e resolver a equação do movimento durante o tempo de queima (isto é, enquanto o combustível é expelido).
(b) Mostrar que, mantendofixos, quanto maior (ou seja, quanto mais rápido o consumo), maior será a altitude atingida pelo foguete (altura máxima).
Passo 2
Montagem física e equação diferencial de movimento (ideia física por trás).
- Método: usar conservação de quantidade de movimento para um foguete de massa variável. Consideramos num instante
o foguete de massa com velocidade . Em um intervalo pequeno sai uma massa (positiva) com velocidade relativa em relação ao foguete (isto é, exausta para baixo a uma velocidade em módulo). - Resultado padrão (explicação curta): o impulso devido à exaustão fornece uma força de empuxo igual a
para cima; a força externa é o peso para baixo. Portanto a equação de Newton para massa variável fica Isso significa que a variação da quantidade de movimento do foguete é dada pelo empuxo menos o peso.
Passo 3
Transformar a equação usando a taxa constante de exaustão.
- Como dado:
(constante). Logo . - Substituindo em
obtemos - Dividindo por
,
Passo 4
Expressão da massa em função do tempo e domínio de validade.
- Integrando a relação
com a condição obtemos válida enquanto houver combustível, isto é, até o tempo de queima porque após esse tempo já foi expelida a massa e o motor pára.
Passo 5
Integração para obter
durante a queima.
- Temos
. Integramos de a usando : - A integral do primeiro termo é padrão: faça a substituição
, , então - A integral do segundo termo é
. Assim
Passo 6
Integração para obter
(posição) durante a queima.
- Integrar
: . Escrevemos - Calcule a integral
. Procedimento: Fazendo de novo: Substituindo e simplificando obtemos (aplicando ) - Logo
Uma forma mais compacta e prática, usando , é (Pode-se verificar que para dá .)
Passo 7
Velocidade e altitude no instante em que o motor apaga (queima completa).
- No instante de burnout
temos . Assim e
Passo 8
Altura máxima após a queima e dependência em
.
- Depois do burnout o foguete sobe como projétil vertical sem empuxo, então a altura máxima
(ápice) é dada por - Substituindo
e e simplificando (as parcelas em se cancelam), obtemos - Definimos a função auxiliar
para . Note que e logo para todo . Usando concluímos - Assim
pode ser vista como com . Diferenciando em relação a , Como e , tem-se . - Conclusão:
cresce com . Ou seja, para fixos, quanto maior a taxa de exaustão (mais rápido o consumo), maior será a altitude máxima atingida pelo foguete.
Resposta
(a) Durante a queima
:
No instante de burnout
:
(b) Altura máxima
e monotonicidade em
:
e
portanto
aumenta com
: quanto maior
, maior a altitude máxima alcançada.