Uma esfera pousa sobre uma moeda carregada com carga
. Esta carga é então redistribuída entre a moeda e a esfera. Considere o raio da esfera de 1 mm e o raio da moeda de 2 cm e espessura de 2 mm , além de serem condutores de mesmo material.
a)Qual a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar)?
b)Supondo que após o contato, suas densidades ficam iguais, qual a densidade de carga superficial final da esfera?
a)Qual a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar)?
b)Supondo que após o contato, suas densidades ficam iguais, qual a densidade de carga superficial final da esfera?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (estou pegando os números do enunciado):
- Carga inicial da moeda:
. - Raio da esfera:
. - Raio da moeda:
. - Espessura da moeda:
. - A moeda e a esfera são condutores do mesmo material.
As perguntas são:
(a) Qual a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar)?
(b) Supondo que, após o contato, as densidades ficam iguais, qual a densidade de carga superficial final da esfera?
Passo 2
Entender o que é densidade de carga superficial e como calculá-la.
- Definição: a densidade de carga superficial
é a carga por unidade de área da superfície onde a carga está distribuída:
onde
é a carga total sobre o condutor e
é a área total da superfície onde a carga reside.
- No caso da moeda (um cilindro curto), a área de superfície externa inclui as duas faces circulares e a superfície lateral. Portanto:
Vou calcular essa área passo a passo.
Passo 3
Calcular a área da moeda.
- Primeiro a área das duas faces:
Calculemos
, então
- Agora a área lateral:
- Soma das áreas:
Numericamente:
Passo 4
Calcular a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar).
- Toda a carga
está inicialmente na moeda, então
- Numérico:
Vou arredondar com três algarismos significativos quando for apresentar a resposta final.
Passo 5
Calcular a área da esfera (para usar depois na redistribuição).
- Área da superfície da esfera:
- Numericamente:
Passo 6
Aplicar a conservação de carga e a hipótese de densidades iguais após o contato.
- Conservação de carga: a carga total não muda, então a carga total depois do contato continua sendo
. - Hipótese do enunciado: após o contato a densidade superficial em ambos os corpos fica igual; chamaremos essa densidade de
. Então a carga total depois do contato é
- Isolando
:
Passo 7
Calcular numericamente
.
- Somando as áreas (usando as expressões em termos de
):
- Numericamente:
- Logo
Passo 8
Interpretando os resultados (curtinho e motivador).
- A densidade inicial da moeda tem magnitude um pouco maior (em valor absoluto) que a densidade final comum; isso faz sentido porque ao acrescentar a superfície adicional da esfera a mesma carga se espalha por uma área total maior, diminuindo (em módulo) a densidade superficial.
- Fica a dica para a prova: para condutores isolados, sempre calcule a área total da superfície externa onde a carga reside e use
; quando dois condutores idênticos e isolados tocam, a carga total se conserva e pode ser repartida segundo a área (se for dada a hipótese de densidades iguais) ou, mais corretamente, segundo igualação de potenciais se for exigido.