Uma esfera pousa sobre uma moeda carregada com carga \mathrm{Q}=-1 \times 10^{-5} \mathrm{C}. Esta carga é então redistribuída entre a moeda e a esfera. Considere o raio da esfera de 1 mm e o raio da moeda de 2 cm e espessura de 2 mm , além de serem condutores de mesmo material.
a)Qual a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar)?
b)Supondo que após o contato, suas densidades ficam iguais, qual a densidade de carga superficial final da esfera?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (estou pegando os números do enunciado):
  • Carga inicial da moeda: Q=-1\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
  • Raio da esfera: r_{\text{esfera}}=1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
  • Raio da moeda: r_{\text{moeda}}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da moeda: h_{\text{moeda}}=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • A moeda e a esfera são condutores do mesmo material.
    As perguntas são:
    (a) Qual a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar)?
    (b) Supondo que, após o contato, as densidades ficam iguais, qual a densidade de carga superficial final da esfera?

Passo 2

Entender o que é densidade de carga superficial e como calculá-la.
  • Definição: a densidade de carga superficial \sigma é a carga por unidade de área da superfície onde a carga está distribuída:
\sigma=\frac{Q}{A},
onde Q é a carga total sobre o condutor e A é a área total da superfície onde a carga reside.
  • No caso da moeda (um cilindro curto), a área de superfície externa inclui as duas faces circulares e a superfície lateral. Portanto:
A_{\text{moeda}} = 2\pi r_{\text{moeda}}^{2} + 2\pi r_{\text{moeda}} h_{\text{moeda}}.
Vou calcular essa área passo a passo.

Passo 3

Calcular a área da moeda.
  • Primeiro a área das duas faces:
A_{\text{faces}} = 2\pi r_{\text{moeda}}^{2} = 2\pi(0,02)^{2}.
Calculemos (0,02)^{2}=0,0004, então
A_{\text{faces}} = 2\pi\cdot0,0004 = 0,0008\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx0,0025133\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a área lateral:
A_{\text{lateral}} = 2\pi r_{\text{moeda}} h_{\text{moeda}} = 2\pi(0,02)(0,002)=0,00008\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx0,0002513\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Soma das áreas:
A_{\text{moeda}} = 0,0008\pi + 0,00008\pi = 0,00088\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Numericamente:
A_{\text{moeda}}\approx0,002764601\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a densidade de carga superficial inicial da moeda (antes da esfera pousar).
  • Toda a carga Q está inicialmente na moeda, então
\sigma_{\text{moeda,\,inicial}}=\frac{Q}{A_{\text{moeda}}}=\frac{-1\times10^{-5}}{0,00088\pi}.
  • Numérico:
\sigma_{\text{moeda,\,inicial}}\approx\frac{-1\times10^{-5}}{0,002764601}\approx-0,0036168\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Vou arredondar com três algarismos significativos quando for apresentar a resposta final.

Passo 5

Calcular a área da esfera (para usar depois na redistribuição).
  • Área da superfície da esfera:
A_{\text{esfera}}=4\pi r_{\text{esfera}}^{2}=4\pi(0,001)^{2}=4\pi\cdot10^{-6}=0,000004\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Numericamente:
A_{\text{esfera}}\approx1,256637\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Aplicar a conservação de carga e a hipótese de densidades iguais após o contato.
  • Conservação de carga: a carga total não muda, então a carga total depois do contato continua sendo Q_{\text{total}}=-1\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
  • Hipótese do enunciado: após o contato a densidade superficial em ambos os corpos fica igual; chamaremos essa densidade de \sigma_{f}. Então a carga total depois do contato é
Q_{\text{total}}=\sigma_{f}\bigl(A_{\text{moeda}}+A_{\text{esfera}}\bigr).
  • Isolando \sigma_{f}:
\sigma_{f}=\frac{Q_{\text{total}}}{A_{\text{moeda}}+A_{\text{esfera}}}.

Passo 7

Calcular numericamente \sigma_{f}.
  • Somando as áreas (usando as expressões em termos de \pi):
A_{\text{moeda}}+A_{\text{esfera}}=(0,00088\pi)+(0,000004\pi)=0,000884\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Numericamente:
A_{\text{total}}\approx0,002777168\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Logo
\sigma_{f}=\frac{-1\times10^{-5}}{0,000884\pi}\approx\frac{-1\times10^{-5}}{0,002777168}\approx-0,0036003\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 8

Interpretando os resultados (curtinho e motivador).
  • A densidade inicial da moeda tem magnitude um pouco maior (em valor absoluto) que a densidade final comum; isso faz sentido porque ao acrescentar a superfície adicional da esfera a mesma carga se espalha por uma área total maior, diminuindo (em módulo) a densidade superficial.
  • Fica a dica para a prova: para condutores isolados, sempre calcule a área total da superfície externa onde a carga reside e use \sigma=Q/A; quando dois condutores idênticos e isolados tocam, a carga total se conserva e pode ser repartida segundo a área (se for dada a hipótese de densidades iguais) ou, mais corretamente, segundo igualação de potenciais se for exigido.

Resposta

\sigma_{\text{moeda,\,inicial}} \approx -0,003617\\ \mathrm{C/m^{2}}
\sigma_{\text{esfera,\,final}} \approx -0,003600\\ \mathrm{C/m^{2}}

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