- Uma esfera de raio
e densidade volumétrica de carga (constante)
gira com velocidade angular constante
.
(c) Encontre o potencial vetor exato para pontos com coordenadas
, com
.
Passo 1
O que o problema dá e o que pede (em palavras claras e curtas):
- Dado: uma esfera de raio
e densidade volumétrica de carga constante , girando com velocidade angular constante em torno do eixo . - Pede: o potencial vetor exato para pontos com coordenadas
(ou seja ) com (fora da esfera).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A distribuição de carga é volumétrica e uniforme:
. - A velocidade de cada pequena parcela de carga em posição
é . - Queremos
para .
Passo 2
Como modelar a corrente e qual fórmula vamos usar — passo-a-passo intuitivo.
- A corrente volumétrica (densidade de corrente) é a carga por volume vezes a velocidade local:
Aqui
é um ponto dentro da esfera (
).
- Para calcular
fora da distribuição (isto é, para ) podemos usar a expansão multipolar para campos magnéticos de uma distribuição de correntes localizadas. O termo dominante a grandes distâncias é o termo dipolar magnético. Para correntes estacionárias, o potencial vetor dipolar é
onde
é o momento dipolar magnético da distribuição de corrente. Vou explicar e calcular
.
- Definição útil do momento dipolar magnético:
Esta fórmula dá um vetor que caracteriza a distribuição de corrente; para distâncias maiores que a região de correntes,
é dado por expressão dipolar acima.
Passo 3
Calcular o momento dipolar
usando a fórmula e a expressão de
.
- Substituindo
:
- Usar a identidade vetorial (produto triplo):
Portanto
Passo 4
Avaliar as integrais sobre a esfera com simetria isotrópica.
- Primeiro, calcule a integral escalar
- Segundo, pela simetria esférica vale a relação tensorial
Isto implica, em forma vetorial,
- Substituindo nas expressões para
:
Calcule o fator numérico:
Multiplicando por
dá
pois
. Portanto:
- Observação prática (útil na prova): pode-se escrever
em função da carga total da esfera, lembrando . Substituindo:
Ambas as formas são equivalentes.
Passo 5
Escrever o potencial vetor
para
usando o momento dipolar encontrado.
- A expressão dipolar geral (válida para
) é
Para
essa forma, em coordenadas esféricas
, tem apenas componente azimutal
-hat:
(Isto é um resultado padrão: o potencial vetor de um dipolo magnético orientado no eixo
é puramente azimutal.)
- Substituindo
obtemos
Logo
- Em vetor:
Para o ponto pedido no enunciado
(ou seja
), a direção
vale a unidade azimutal naquele lugar, então a expressão acima é diretamente aplicável.
Passo 6
Resumo didático rápido (para a prova): o procedimento que sempre funciona para esse tipo de problema
- escreva
; - calcule o momento dipolar
usando identidades vetoriais e simetria (o passo que consome tempo é avaliar as integrais, mas para esfera uniforme há fórmulas prontas: e ); - use
para fora da distribuição; - note que o resultado fica só em
e decai como .
Força e ânimo: essa é uma conta padrão e elegante — pratica um pouco esse passo de calcular
com produtos vetoriais e integrais em esfera que é frequente em provas.