1. Uma esfera de raio R e densidade volumétrica de carga (constante) \rho gira com velocidade angular constante \omega.
(b) Encontre o potencial vetor aproximado para pontos com coordenadas ( r, \theta, 0 ), com r \gg R.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue foi extraído do enunciado):
  • Uma esfera sólida de raio R com densidade volumétrica de carga constante \rho.
  • A esfera gira em torno de um eixo com velocidade angular constante \boldsymbol{\omega}.
  • Pedem o potencial vetor aproximado nos pontos dados em coordenadas esféricas por (r,\theta,0) no regime de distância grande: r\gg R.
O que preciso retornar: uma expressão aproximada para \mathbf{A}(r,\theta,0) válida para r\gg R. Nada mais é pedido.

Passo 2

Escrevendo a densidade de corrente dentro da esfera: cada elemento de volume tem carga \rho\,dV' e velocidade \mathbf{v}(\mathbf{r}')=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}'. Então a densidade de corrente é
\mathbf{J}(\mathbf{r}')=\rho\,\mathbf{v}(\mathbf{r}')=\rho\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}'\bigr).
Explicação curta: \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}' dá a velocidade linear do ponto \mathbf{r}' em rotação rígida; multiplicando por \rho obtemos corrente por volume.

Passo 3

Fórmula do potencial vetor em magnetostática (exata):
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'.
Para r\gg R podemos fazer a aproximação multipolar: o termo monopolar (análogo a carga elétrica) para corrente é nulo, então o maior termo é o dipolar magnético. A contribuição dipolar pode ser escrita usando o momento magnético \mathbf{m}:
\mathbf{A}(\mathbf{r})\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},
onde o momento magnético é
\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,d^3r'.
Breve comentário didático: \mathbf{m} é a quantidade que descreve a “força” do dipolo magnético; para correntes macroscópicas ele surge com a integral acima. Em distâncias grandes a distribuição de corrente se comporta, ao primeiro ordem, como esse dipolo.

Passo 4

Calcular \mathbf{m} usando \mathbf{J}(\mathbf{r}')=\rho(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}'):
\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\bigl[\rho(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')\bigr]\,d^3r' =\frac{\rho}{2}\int \mathbf{r}'\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')\,d^3r'.
Usamos a identidade vetorial
\mathbf{r}'\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')=\boldsymbol{\omega}\,r'^2-\mathbf{r}'(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r}'),
portanto
\mathbf{m}=\frac{\rho}{2}\int\Bigl(\boldsymbol{\omega}\,r'^2-\mathbf{r}'(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r}')\Bigr)\,d^3r'.
Agora aplicamos simetria da esfera. Pelo fato da esfera ser homogênea e isotrópica, a integral tensorial satisfaz
\int r'_i r'_j\,d^3r'=\frac{\delta_{ij}}{3}\int r'^2\,d^3r'.
Dessa forma
\int \mathbf{r}'(\boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{r}')\,d^3r'=\frac{1}{3}\boldsymbol{\omega}\int r'^2\,d^3r'.
Substituindo na expressão de \mathbf{m}:
\mathbf{m}=\frac{\rho}{2}\left(\boldsymbol{\omega}\int r'^2\,d^3r' - \frac{1}{3}\boldsymbol{\omega}\int r'^2\,d^3r'\right) =\frac{\rho}{3}\,\boldsymbol{\omega}\int r'^2\,d^3r'.

Passo 5

Calcular a integral escalar \int r'^2\,d^3r' sobre a esfera de raio R. Na coordenadas esféricas:
\int r'^2\,d^3r'= \int_0^R r'^2\cdot 4\pi r'^2\,dr' = 4\pi\int_0^R r'^4\,dr' =4\pi\left[\frac{r'^5}{5}\right]_0^R=\frac{4\pi R^5}{5}.
Portanto
\mathbf{m}=\frac{\rho}{3}\,\boldsymbol{\omega}\cdot\frac{4\pi R^5}{5} =\frac{4\pi\rho R^5}{15}\,\boldsymbol{\omega}.
Comentário prático: é comum também expressar \mathbf{m} em termos da carga total Q. Como
Q=\rho\cdot\frac{4\pi R^3}{3},
temos \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^3} e assim
\mathbf{m}=\frac{Q R^2}{5}\,\boldsymbol{\omega}.

Passo 6

Usar a forma dipolar do potencial vetor. Para \mathbf{m} paralelo ao eixo z (ou seja \boldsymbol{\omega} ao longo de z), na coordenada esférica o produto vetorial dá uma componente somente em \hat{\boldsymbol{\varphi}}. A identidade útil é
\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{r}}=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Usando \mathbf{A}(\mathbf{r})\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\mathbf{m}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2} e \mathbf{m}=\dfrac{4\pi\rho R^5}{15}\boldsymbol{\omega}, obtemos
\mathbf{A}(r,\theta,0)\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\left(\dfrac{4\pi\rho R^5}{15}\boldsymbol{\omega}\right)\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2} =\frac{\mu_0\rho R^5}{15}\,\frac{\boldsymbol{\omega}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
Se escolhermos o eixo de rotação tal que \boldsymbol{\omega}=\omega\hat{\mathbf{z}}, então \boldsymbol{\omega}\times\hat{\mathbf{r}}=\omega(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{r}})=\omega\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}. Assim
\mathbf{A}(r,\theta,0)\approx \frac{\mu_0\rho R^5 \omega}{15}\,\frac{\sin\theta}{r^2}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Forma alternativa em termos de Q (usando \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^3}) é
\mathbf{A}(r,\theta,0)\approx \frac{\mu_0 Q R^2 \omega}{20\pi r^2}\,\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{A}(r,\theta,0)\approx \frac{\mu_0\rho R^5 \omega}{15}\,\frac{\sin\theta}{r^2}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}
\displaystyle \mathbf{A}(r,\theta,0)\approx \frac{\mu_0 Q R^2 \omega}{20\pi r^2}\,\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}

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