- Uma esfera de raio
e densidade volumétrica de carga (constante)
gira com velocidade angular constante
.
(b) Encontre o potencial vetor aproximado para pontos com coordenadas (
), com
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue foi extraído do enunciado):
- Uma esfera sólida de raio
com densidade volumétrica de carga constante . - A esfera gira em torno de um eixo com velocidade angular constante
. - Pedem o potencial vetor aproximado nos pontos dados em coordenadas esféricas por
no regime de distância grande: .
O que preciso retornar: uma expressão aproximada para
válida para
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Escrevendo a densidade de corrente dentro da esfera: cada elemento de volume tem carga
e velocidade
. Então a densidade de corrente é
Explicação curta:
dá a velocidade linear do ponto
em rotação rígida; multiplicando por
obtemos corrente por volume.
Passo 3
Fórmula do potencial vetor em magnetostática (exata):
Para
podemos fazer a aproximação multipolar: o termo monopolar (análogo a carga elétrica) para corrente é nulo, então o maior termo é o dipolar magnético. A contribuição dipolar pode ser escrita usando o momento magnético
:
onde o momento magnético é
Breve comentário didático:
é a quantidade que descreve a “força” do dipolo magnético; para correntes macroscópicas ele surge com a integral acima. Em distâncias grandes a distribuição de corrente se comporta, ao primeiro ordem, como esse dipolo.
Passo 4
Calcular
usando
:
Usamos a identidade vetorial
portanto
Agora aplicamos simetria da esfera. Pelo fato da esfera ser homogênea e isotrópica, a integral tensorial satisfaz
Dessa forma
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Calcular a integral escalar
sobre a esfera de raio
. Na coordenadas esféricas:
Portanto
Comentário prático: é comum também expressar
em termos da carga total
. Como
temos
e assim
Passo 6
Usar a forma dipolar do potencial vetor. Para
paralelo ao eixo
(ou seja
ao longo de
), na coordenada esférica o produto vetorial dá uma componente somente em
. A identidade útil é
Usando
e
, obtemos
Se escolhermos o eixo de rotação tal que
, então
. Assim
Forma alternativa em termos de
(usando
) é