- Uma esfera de raio
e densidade volumétrica de carga (constante)
gira com velocidade angular constante
.
(a) Encontre o momento de dipolo da esfera. (Dica: use o resultado do exercício anterior e o princípio da superposição.)
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa:
- Informação: uma esfera sólida de raio
tem densidade volumétrica de carga constante . - Informação: a esfera gira em torno de um eixo fixo com velocidade angular constante
. - Pedido: encontrar o momento de dipolo (magnético) associado à esfera girante.
Dados relevantes que vou usar (já estão no enunciado):
A resposta final deve ser um vetor na direção do eixo de rotação (direção de
). A dica do enunciado sugere usar superposição: tratar a esfera como soma de cascas esféricas concêntricas.
Passo 2
Plano de resolução (sem resolver ainda, só explicando o método passo a passo que vou usar):
- Primeiro obterei o momento dipolar magnético de uma casca esférica fina (de raio
e carga total distribuída uniformemente na superfície) quando ela gira com velocidade angular . - Depois usarei superposição: a esfera sólida é composta por cascas de raio
com espessura . Para cada casca calculei a contribuição infinitesimal e integro de a . - Por fim expresso o resultado em termos de
(ou, equivalentemente, em termos da carga total da esfera).
Vou desenvolver cada etapa com calma, explicando as fórmulas físicas usadas.
Passo 3
Momento dipolar magnético de um anel de corrente (relembrando um conceito útil):
- Um anel circular que carrega corrente
e tem área tem momento magnético de módulo , dirigido segundo o eixo do anel (regra da mão direita). - Se a corrente for causada por uma carga
que dá voltas com frequência , então . A relação entre frequência e velocidade angular é .
Vou usar isso para montar a contribuição de cada anel presente numa casca esférica.
Passo 4
Momento magnético de uma casca esférica fina de raio
e carga total
girando com
(derivação detalhada):
- A casca tem carga superficial uniforme
. - Considere um elemento anelar da casca localizado no ângulo polar
(medido a partir do eixo de rotação). O anel tem: - raio do anel
, - largura (no sentido polar) aproximadamente
, - área do anel (superfície)
.
- raio do anel
- A carga contida nesse anel é
- Essa carga
completa voltas com frequência , logo a corrente associada ao anel é - A área da superfície do anel (a área do “loop” que produz o momento magnético) é
. - Portanto a contribuição infinitesimal de momento magnético (módulo) desse anel é
- Substituindo
, - Todos esses anéis têm o mesmo sentido de momento magnético (ao longo do eixo de rotação), então o momento total da casca é
- Calcule a integral conhecida:
(Uma forma rápida: , substituição dá o resultado .) - Assim
- Conclusão útil (resultado que também poderia vir do exercício anterior): uma casca esférica fina de carga
e raio girando com tem momento magnético onde é o versor na direção do eixo de rotação.
Passo 5
Agora use superposição para obter o momento da esfera sólida:
- Pense na esfera como empilhamento de cascas concêntricas de raio
e espessura , cada uma com carga (Aqui usei , volume da casca de espessura .) - A contribuição infinitesimal de momento magnético da casca de raio
é, usando o resultado do passo anterior com , - Simplificando:
Passo 6
Integral para obter o momento total:
- Integro
de a : - Calcule a integral:
- Então
Passo 7
Expressão em termos da carga total
da esfera (forma frequentemente usada):
- A carga total da esfera é
- Substituindo
na expressão de : - Portanto o resultado pode ser escrito de duas formas equivalentes: