1. Uma esfera de raio R e densidade volumétrica de carga (constante) \rho gira com velocidade angular constante \omega.
(a) Encontre o momento de dipolo da esfera. (Dica: use o resultado do exercício anterior e o princípio da superposição.)

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação: uma esfera sólida de raio R tem densidade volumétrica de carga constante \rho.
  • Informação: a esfera gira em torno de um eixo fixo com velocidade angular constante \omega.
  • Pedido: encontrar o momento de dipolo (magnético) associado à esfera girante.
Dados relevantes que vou usar (já estão no enunciado):
R,\qquad \rho,\qquad \omega.
A resposta final deve ser um vetor na direção do eixo de rotação (direção de \omega). A dica do enunciado sugere usar superposição: tratar a esfera como soma de cascas esféricas concêntricas.

Passo 2

Plano de resolução (sem resolver ainda, só explicando o método passo a passo que vou usar):
  • Primeiro obterei o momento dipolar magnético de uma casca esférica fina (de raio r e carga total q distribuída uniformemente na superfície) quando ela gira com velocidade angular \omega.
  • Depois usarei superposição: a esfera sólida é composta por cascas de raio r com espessura dr. Para cada casca calculei a contribuição infinitesimal d\mathbf{m} e integro r de 0 a R.
  • Por fim expresso o resultado em termos de \rho (ou, equivalentemente, em termos da carga total Q da esfera).
Vou desenvolver cada etapa com calma, explicando as fórmulas físicas usadas.

Passo 3

Momento dipolar magnético de um anel de corrente (relembrando um conceito útil):
  • Um anel circular que carrega corrente I e tem área A tem momento magnético de módulo m=I A, dirigido segundo o eixo do anel (regra da mão direita).
  • Se a corrente for causada por uma carga q que dá voltas com frequência f, então I=q f. A relação entre frequência e velocidade angular é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Vou usar isso para montar a contribuição de cada anel presente numa casca esférica.

Passo 4

Momento magnético de uma casca esférica fina de raio r e carga total q girando com \omega (derivação detalhada):
  • A casca tem carga superficial uniforme \sigma=\dfrac{q}{4\pi r^{2}}.
  • Considere um elemento anelar da casca localizado no ângulo polar \theta (medido a partir do eixo de rotação). O anel tem:
    • raio do anel a=r\sin\theta,
    • largura (no sentido polar) aproximadamente r\,d\theta,
    • área do anel (superfície) dA_{\text{anel}}=(2\pi a)(r\,d\theta)=2\pi r^{2}\sin\theta\,d\theta.
  • A carga contida nesse anel é dq=\sigma\,dA_{\text{anel}}=\frac{q}{4\pi r^{2}}\cdot 2\pi r^{2}\sin\theta\,d\theta=\frac{q}{2}\sin\theta\,d\theta.
  • Essa carga dq completa voltas com frequência f=\dfrac{\omega}{2\pi}, logo a corrente associada ao anel é dI=dq\cdot f = dq\cdot\frac{\omega}{2\pi}.
  • A área da superfície do anel (a área do “loop” que produz o momento magnético) é A_{\text{anel}}=\pi a^{2}=\pi r^{2}\sin^{2}\theta.
  • Portanto a contribuição infinitesimal de momento magnético (módulo) desse anel é dm = dI \cdot A_{\text{anel}} = \left(dq\cdot\frac{\omega}{2\pi}\right)\left(\pi r^{2}\sin^{2}\theta\right) = \frac{dq\,\omega\,r^{2}\sin^{2}\theta}{2}.
  • Substituindo dq=\dfrac{q}{2}\sin\theta\,d\theta, dm = \frac{q}{2}\sin\theta\,d\theta\cdot\frac{\omega r^{2}\sin^{2}\theta}{2} = \frac{q\omega r^{2}}{4}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Todos esses anéis têm o mesmo sentido de momento magnético (ao longo do eixo de rotação), então o momento total da casca é m_{\text{casca}}=\int_{0}^{\pi} dm = \frac{q\omega r^{2}}{4}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral conhecida: \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}.(Uma forma rápida: \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta), substituição u=\cos\theta dá o resultado 4/3.)
  • Assim m_{\text{casca}}=\frac{q\omega r^{2}}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{q\omega r^{2}}{3}.
  • Conclusão útil (resultado que também poderia vir do exercício anterior): uma casca esférica fina de carga q e raio r girando com \omega tem momento magnético \mathbf{m}_{\text{casca}}=\frac{q\omega r^{2}}{3}\,\hat{\omega},onde \hat{\omega} é o versor na direção do eixo de rotação.

Passo 5

Agora use superposição para obter o momento da esfera sólida:
  • Pense na esfera como empilhamento de cascas concêntricas de raio r e espessura dr, cada uma com carga dq = \rho\,dV = \rho\cdot (4\pi r^{2}\,dr).(Aqui usei dV=4\pi r^{2}\,dr, volume da casca de espessura dr.)
  • A contribuição infinitesimal de momento magnético da casca de raio r é, usando o resultado do passo anterior com q\mapsto dq, d\mathbf{m} = \frac{dq\,\omega r^{2}}{3}\,\hat{\omega} = \frac{\rho(4\pi r^{2}\,dr)\,\omega r^{2}}{3}\,\hat{\omega}.
  • Simplificando: d\mathbf{m} = \frac{4\pi\rho\,\omega}{3}\,r^{4}\,dr\,\hat{\omega}.

Passo 6

Integral para obter o momento total:
  • Integro r de 0 a R: \mathbf{m}=\int_{0}^{R} d\mathbf{m} = \frac{4\pi\rho\,\omega}{3}\left(\int_{0}^{R} r^{4}\,dr\right)\hat{\omega}.
  • Calcule a integral: \int_{0}^{R} r^{4}\,dr = \frac{R^{5}}{5}.
  • Então \mathbf{m}=\frac{4\pi\rho\,\omega}{3}\cdot\frac{R^{5}}{5}\,\hat{\omega} = \frac{4\pi\rho\,\omega R^{5}}{15}\,\hat{\omega}.

Passo 7

Expressão em termos da carga total Q da esfera (forma frequentemente usada):
  • A carga total da esfera é Q=\rho\cdot \text{(volume)} = \rho\left(\frac{4\pi R^{3}}{3}\right).
  • Substituindo \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}} na expressão de \mathbf{m}: \mathbf{m}=\frac{4\pi}{15}\cdot\left(\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\right)\omega R^{5}\,\hat{\omega} = \frac{Q\omega R^{2}}{5}\,\hat{\omega}.
  • Portanto o resultado pode ser escrito de duas formas equivalentes: \mathbf{m}=\frac{4\pi\rho\,\omega R^{5}}{15}\,\hat{\omega} \quad\text{ou}\quad \mathbf{m}=\frac{Q\omega R^{2}}{5}\,\hat{\omega}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{m}=\dfrac{4\pi\rho\,\omega R^{5}}{15}\,\hat{\omega}
\displaystyle \mathbf{m}=\dfrac{Q\,\omega R^{2}}{5}\,\hat{\omega}

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