Uma esfera de raio R não-condutora é carregada e apresenta (para \mathrm{r} \leq \mathrm{R} ) uma distribuição de cargas dada por \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\right), onde \rho_{0} é uma constante. Determine a posição \mathrm{r}_{\mathrm{m}} (diferente de zero) dentro dessa esfera onde o campo elétrico assume o seu valor máximo.
A) 2^{2 / 3} \mathrm{R} / 2
B) 2^{1 / 3} \mathrm{R} / 2
C) 2^{3 / 2} R / 2
D) 2^{1 / 3} \mathrm{R} / 3
E) 2^{1 / 3} \mathrm{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, dentro da esfera (isto é, para 0<r\le R), a posição r_m onde o campo elétrico tem valor máximo. As informações dadas são:
  • Raio da esfera: R.
  • Densidade volumétrica de carga (para r\le R):
\rho(r)=\rho_{0}\!\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\right),
onde \rho_{0} é uma constante.
  • Procurar r_{m} (diferente de zero) tal que E(r) seja máximo.

Passo 2

Por simetria esférica o campo elétrico em função de r é radial e depende só de r. Pelo Teorema de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}},
e a superfície gaussiana escolhida é uma esfera de raio r. Como \mathbf{E} é radial e constante sobre essa superfície,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Aqui Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida na esfera de raio r.

Passo 3

Vamos calcular Q_{\text{enc}}(r) integrando a densidade sobre o volume interno até r. O elemento de volume esférico é dV=4\pi r'^{2}dr'. Assim
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr' =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\left(1-\frac{r'^{3}}{R^{3}}\right)r'^{2}dr'.
Separando a integral:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0}\left(\int_{0}^{r}r'^{2}dr' - \frac{1}{R^{3}}\int_{0}^{r}r'^{5}dr'\right).
Calcule as primitivas:
\int_{0}^{r}r'^{2}dr'=\frac{r^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{r}r'^{5}dr'=\frac{r^{6}}{6}.
Substituindo:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0}\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{6}}{6R^{3}}\right).
Fatorando r^{3}:
Q_{\text{enc}}(r)=\frac{4\pi\rho_{0}r^{3}}{3}\left(1-\frac{r^{3}}{2R^{3}}\right).

Passo 4

Agora substituímos Q_{\text{enc}}(r) em E(r)=Q_{\text{enc}}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2}). Temos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\cdot\frac{4\pi\rho_{0}r^{3}}{3}\left(1-\frac{r^{3}}{2R^{3}}\right).
Simplificando 4\pi e fatores de r:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,\frac{r}{1}\left(1-\frac{r^{3}}{2R^{3}}\right).
Faço uma pequena reorganização para ficar mais claro:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}\,r\left(2-\frac{r^{3}}{R^{3}}\right).
(ambas as formas equivalem; a última é conveniente para derivar).

Passo 5

Para achar o máximo interior (com r>0) derivamos E(r) em relação a r e igualamos a zero. Defina a constante
C=\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}.
Então E(r)=C\big(2r - \frac{r^{4}}{R^{3}}\big). Derivando:
\frac{dE}{dr}=C\left(2 - 4\frac{r^{3}}{R^{3}}\right).
Igualando a zero:
2 - 4\frac{r^{3}}{R^{3}}=0 \quad\Rightarrow\quad 4\frac{r^{3}}{R^{3}}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{r^{3}}{R^{3}}=\frac{1}{2}.
Portanto
r^{3}=\frac{R^{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad r=R\left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \frac{R}{2^{1/3}}.

Passo 6

Devemos verificar que esse ponto crítico é um máximo. Calcule a segunda derivada:
\frac{d^{2}E}{dr^{2}}=C\left(-12\frac{r^{2}}{R^{3}}\right).
Para r>0 e assumindo \rho_{0}>0 (densidade positiva) temos C>0 e então \dfrac{d^{2}E}{dr^{2}}<0, ou seja, ponto de máximo. Além disso E(0)=0 e E(r) cresce inicialmente, atinge esse máximo e depois decresce até r=R, portanto o resultado é consistente.

Passo 7

Comparando com as alternativas: a alternativa A é
\frac{2^{2/3}R}{2}.
Note que
\frac{2^{2/3}R}{2}=R\cdot \frac{2^{2/3}}{2}=R\cdot 2^{2/3-1}=R\cdot 2^{-1/3}=\frac{R}{2^{1/3}},
que coincide com o r encontrado. Logo a alternativa correta é a A.

Resposta

A) \dfrac{2^{2/3}R}{2}

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