Uma esfera de raio R não-condutora é carregada e apresenta (para
) uma distribuição de cargas dada por
, onde
é uma constante. Determine a posição
(diferente de zero) dentro dessa esfera onde o campo elétrico assume o seu valor máximo.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, dentro da esfera (isto é, para
), a posição
onde o campo elétrico tem valor máximo. As informações dadas são:
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica de carga (para
):
onde
é uma constante.
- Procurar
(diferente de zero) tal que seja máximo.
Passo 2
Por simetria esférica o campo elétrico em função de
é radial e depende só de
. Pelo Teorema de Gauss:
e a superfície gaussiana escolhida é uma esfera de raio
. Como
é radial e constante sobre essa superfície,
Aqui
é a carga total contida na esfera de raio
.
Passo 3
Vamos calcular
integrando a densidade sobre o volume interno até
. O elemento de volume esférico é
. Assim
Separando a integral:
Calcule as primitivas:
Substituindo:
Fatorando
:
Passo 4
Agora substituímos
em
. Temos
Simplificando
e fatores de
:
Faço uma pequena reorganização para ficar mais claro:
(ambas as formas equivalem; a última é conveniente para derivar).
Passo 5
Para achar o máximo interior (com
) derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Defina a constante
Então
. Derivando:
Igualando a zero:
Portanto
Passo 6
Devemos verificar que esse ponto crítico é um máximo. Calcule a segunda derivada:
Para
e assumindo
(densidade positiva) temos
e então
, ou seja, ponto de máximo. Além disso
e
cresce inicialmente, atinge esse máximo e depois decresce até
, portanto o resultado é consistente.
Passo 7
Comparando com as alternativas: a alternativa A é
Note que
que coincide com o
encontrado. Logo a alternativa correta é a A.
Resposta
A)