Q20 *
Assinale o valor do limite
(a)
(b) 0
(c) 1
(d)
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei
(b) 0
(c) 1
(d)
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função envolvida é o produto de
(que é ) e . - O limite é tomado quando
tende a pela direita ( ).
O que é pedido: determinar se esse limite vale, , ou .
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de cada fator quando
:
-
tende para quando . -
tende para quando .
Portanto o produto
tem a forma indeterminada
. Isso significa que não dá para concluir o limite só olhando os sinais/valores; precisamos manipular a expressão para avaliar qual efeito domina (se o fator que vai a zero anula a divergência do logaritmo ou não).
Passo 3
Uma maneira eficiente é fazer a substituição
Explico por que isso ajuda:
- Se
então , logo . - Em termos de
temos
Substituindo no produto:
Portanto o limite original é igual a
Passo 4
Agora avaliamos
.
É equivalente calcular
É equivalente calcular
A forma
é do tipo
, então podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital (derivar numerador e denominador):
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Pelo l’Hôpital,
pois
cresce sem limite e anula a constante
. Logo
Comentário didático curto: isso também é a expressão da ideia “exponencial domina polinômio”: para qualquer potência polinomial em
(por exemplo
,
, etc.) temos
quando
se
.
Passo 5
Conclusão: o limite pedido é
. Uma generalização útil para provas: para qualquer
,
e a prova é análoga (usar
ou notar que o exponencial vence qualquer potência).
Dica prática para a prova: quando aparecer
com
, já pense em
ou reescrever como
e use l’Hôpital se preferir — isso costuma resolver rápido.
Resposta
(b) 0