Q20 *
Assinale o valor do limite
\lim _{x \rightarrow 0+} \sqrt[10]{x} \ln (x)
(a) -\infty
(b) 0
(c) 1
(d) \infty
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0+} \sqrt[10]{x}\,\ln(x).
Informações dadas:
  • A função envolvida é o produto de \sqrt[10]{x} (que é x^{1/10}) e \ln(x).
  • O limite é tomado quando x tende a 0 pela direita ( x\to0+).
    O que é pedido: determinar se esse limite vale -\infty, 0, 1 ou +\infty.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de cada fator quando x\to0+:
  • \ln(x) tende para -\infty quando x\to0+.
  • \sqrt[10]{x}=x^{1/10} tende para 0^+ quando x\to0+.
Portanto o produto \sqrt[10]{x}\,\ln(x) tem a forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Isso significa que não dá para concluir o limite só olhando os sinais/valores; precisamos manipular a expressão para avaliar qual efeito domina (se o fator que vai a zero anula a divergência do logaritmo ou não).

Passo 3

Uma maneira eficiente é fazer a substituição
u=-\ln(x).
Explico por que isso ajuda:
  • Se x\to0+ então \ln(x)\to-\infty, logo u=-\ln(x)\to+\infty.
  • Em termos de u temos
\ln(x)=-u \qquad\text{e}\qquad x^{1/10}=e^{\frac{1}{10}\ln(x)}=e^{-\frac{u}{10}}.
Substituindo no produto:
\sqrt[10]{x}\,\ln(x)=x^{1/10}\ln(x) = e^{-\frac{u}{10}}\cdot(-u) = -u\,e^{-\frac{u}{10}}.
Portanto o limite original é igual a
\lim_{x\to0+} x^{1/10}\ln(x) = \lim_{u\to\infty} -u\,e^{-\frac{u}{10}}.

Passo 4

Agora avaliamos \displaystyle \lim_{u\to\infty} -u\,e^{-\frac{u}{10}}.
É equivalente calcular
-\lim_{u\to\infty} \frac{u}{e^{\frac{u}{10}}}.
A forma \dfrac{u}{e^{u/10}} é do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital (derivar numerador e denominador):
  • Derivada do numerador u é 1.
  • Derivada do denominador e^{u/10} é \tfrac{1}{10}e^{u/10}.
    Pelo l’Hôpital,
\lim_{u\to\infty} \frac{u}{e^{u/10}} = \lim_{u\to\infty} \frac{1}{\tfrac{1}{10}e^{u/10}} = \lim_{u\to\infty} \frac{10}{e^{u/10}} = 0,
pois e^{u/10} cresce sem limite e anula a constante 10. Logo
\lim_{u\to\infty} -u\,e^{-\frac{u}{10}} = -0 = 0.
Comentário didático curto: isso também é a expressão da ideia “exponencial domina polinômio”: para qualquer potência polinomial em u (por exemplo u, u^2, etc.) temos u^k e^{-a u}\to0 quando u\to\infty se a>0.

Passo 5

Conclusão: o limite pedido é 0. Uma generalização útil para provas: para qualquer \alpha>0,
\lim_{x\to0+} x^{\alpha}\ln(x)=0,
e a prova é análoga (usar u=-\ln x ou notar que o exponencial vence qualquer potência).
Dica prática para a prova: quando aparecer x^\alpha\ln x com x\to0+, já pense em u=-\ln x ou reescrever como \ln x / x^{-\alpha} e use l’Hôpital se preferir — isso costuma resolver rápido.

Resposta

(b) 0

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