Se o wronskiano W de f e g é 3 e^{t t} e se f(t)=e^{t}, encontre g(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou interpretar e^{t t} como e^{t^{2}}, já que t t=t^{2}):
  • O wronskiano de f e g é W(t)=3e^{t^{2}}.
  • A função f é f(t)=e^{t}.
O que o problema pede:
  • Encontrar a função g(t) (a solução geral, que poderá conter uma constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é o wronskiano para duas funções f e g. A definição é
W(t)=\begin{vmatrix} f(t) & g(t)\\[4pt] f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}=f(t)g'(t)-f'(t)g(t).
Aqui f'(t) e g'(t) são as derivadas de f e g em relação a t. Essa identidade é só a forma determinantal traduzida para uma expressão algébrica.]

Passo 3

Calcule a derivada de f. Como f(t)=e^{t}, tem-se
f'(t)=e^{t}.
Agora escrevemos a equação do wronskiano com os dados:
W(t)=f(t)g'(t)-f'(t)g(t)=e^{t}g'(t)-e^{t}g(t).
Pelo enunciado W(t)=3e^{t^{2}}. Igualando,
e^{t}g'(t)-e^{t}g(t)=3e^{t^{2}}.
Podemos dividir por e^{t} (nunca é zero) para simplificar:
g'(t)-g(t)=3e^{t^{2}-t}.

Passo 4

Uma forma elegante de integrar essa relação é notar que
\bigg(\frac{g(t)}{f(t)}\bigg)'=\frac{f(t)g'(t)-f'(t)g(t)}{f(t)^{2}}=\frac{W(t)}{f(t)^{2}}.
Essa fórmula foi obtida aplicando a regra do quociente; é útil porque transforma a equação do wronskiano em uma integral simples. Usando f(t)=e^{t} temos f(t)^{2}=e^{2t}, então
\bigg(\frac{g(t)}{e^{t}}\bigg)'=\frac{3e^{t^{2}}}{e^{2t}}=3e^{t^{2}-2t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
\frac{g(t)}{e^{t}}=\int 3e^{t^{2}-2t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora simplificamos o integrando:
t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1,
portanto
3e^{t^{2}-2t}=3e^{-1}e^{(t-1)^{2}}=\frac{3}{e}\,e^{(t-1)^{2}}.
Logo
\frac{g(t)}{e^{t}}=\frac{3}{e}\int e^{(t-1)^{2}}\,dt + C.

Passo 6

A integral \int e^{(t-1)^{2}}\,dt não possui primitiva elementar em termos de funções elementares usuais; ela é expressa em termos da função erro imaginária \operatorname{erfi}. A identidade útil é, para variável u,
\int e^{u^{2}}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(u)+\text{const},
onde \operatorname{erfi}(u)=-i\,\operatorname{erf}(i u). Aplicando com u=t-1 obtemos
\int e^{(t-1)^{2}}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(t-1)+\text{const}.
Substituindo isso em nossa expressão para g,
\frac{g(t)}{e^{t}}=\frac{3}{e}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(t-1)+C.
Multiplicando por e^{t},
g(t)=e^{t}\,C + e^{t}\cdot\frac{3\sqrt{\pi}}{2e}\,\operatorname{erfi}(t-1).
Podemos renomear a constante e^{t}C como uma constante arbitrária multiplicada por e^{t}; a forma acima já é a solução geral.

Resposta

g(t)=C\,e^{t}+\dfrac{3\sqrt{\pi}}{2e}\,e^{t}\,\operatorname{erfi}(t-1), where C é constante arbitrária.

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