Uma esfera sólida isolante de raio a possui uma densidade de carga de volume uniforme r e transporta uma carga total positiva
. (A) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto fora da esfera. (B) Calcule o campo elétrico no interior da esfera. (c) Quando é mais conveniente utilizar a Lei de Gauss?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: temos uma esfera sólida isolante de raio
com densidade de carga de volume uniforme (o enunciado escreveu , vou tratar como a densidade volumétrica porque é o padrão) e que transporta uma carga total positiva . - Informação implícita: a distribuição de carga é esfericamente simétrica (uniforme em todo o volume).
- Pergunta (A): Calcular o módulo do campo elétrico em um ponto fora da esfera (ou seja, para raio
). - Pergunta (B): Calcular o campo elétrico no interior da esfera (ou seja, para raio
). - Pergunta (C): Quando é mais conveniente utilizar a Lei de Gauss?
Isso é tudo o que o enunciado fornece / pede. A partir daqui vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Entendendo a ferramenta principal: a Lei de Gauss. Vou explicar bem devagar como usar e o que cada símbolo significa.
- A forma integral da Lei de Gauss é:
- Aqui
é o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (a integral de superfície sobre toda a superfície). -
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o elemento vetorial de área (módulo igual à área do pedaço, direção normal para fora). -
é a carga total contida no volume delimitado pela superfície escolhida. -
é a permissividade do vácuo (constante). - Quando a configuração tem simetria suficiente (esférica, cilíndrica ou plana infinita), podemos escolher uma superfície gaussiana tal que:
-
tenha direção conhecida e constante em pontos relevantes da superfície, - o produto escalar
simplifica para (ou zero).
Nesse caso a integral viravezes a área total da superfície e a equação fornece facilmente.
-
No nosso problema a distribuição é esfericamente simétrica (a esfera é uniforme). Isso nos permite escolher como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio
. Em seguida vamos aplicar Gauss separadamente nos dois casos:
(fora) e
(dentro).
Passo 3
Caso (A): ponto fora da esfera (ou seja, queremos
quando
).
- Primeiro: a superfície gaussiana escolhida é uma esfera de raio
centrada na mesma centro da esfera carregada. Pela simetria esférica: -
é radial (para fora, já que ) e tem o mesmo módulo em toda a superfície gaussiana. - O vetor área
também é radial para fora em cada ponto. - Então
com constante sobre a superfície.
-
- Aplicando a Lei de Gauss:
- O total de carga contido pela superfície gaussiana, quando
, é toda a carga da esfera, ou seja . - Assim pela Lei de Gauss:
- Isolando
:
- Interpretação: para
o campo fora da esfera é exatamente igual ao campo de uma carga pontual localizada no centro da esfera (essa é uma consequência geral da simetria esférica). O campo aponta radialmente para fora.
Passo 4
Caso (B): ponto dentro da esfera (ou seja, queremos
quando
).
- Novamente escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio
(< ) centrada no centro da esfera carregada. Pela simetria a mesma argumentação do passo anterior vale: é radial e tem mesmo módulo em toda a superfície gaussiana, então
- Agora precisamos de
: a carga contida dentro da esfera de raio . Como a densidade volumétrica é uniforme , a carga dentro do raio é a densidade vezes o volume dessa esfera menor:
- O enunciado também nos deu
como carga total da esfera de raio . Podemos relacionar e por:
(Esse passo é só álgebra simples para eliminar
se preferirmos trabalhar em função de
.)
- Substituindo
em :
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Isolando
:
- Observações importantes e intuitivas:
- Para
o campo cresce linearmente com : . No centro ( ) o campo é zero. - No limite
(chegando à superfície por dentro) obtemos que coincide com o resultado externo em , então o campo é contínuo na superfície (não há salto no módulo do campo radial neste caso). - O sentido do campo é radial para fora (pois
).
- Para
Passo 5
Pequena verificação e comparação com a lei de Coulomb:
- O resultado para
,
é exatamente a forma do campo de Coulomb gerado por uma carga pontual
no centro. Isso faz sentido fisicamente: uma esfera carregada uniformemente se comporta, no exterior, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
- Para
o comportamento é típico de um volume uniformemente carregado: somente a carga interna ao raio contribui para o campo naquele ponto; as camadas externas não contribuem (é resultado da integração vetorial simétrica — aqui usado por Gauss).
Passo 6
Resposta à parte (C): quando é mais conveniente usar a Lei de Gauss?
- A Lei de Gauss é extremamente conveniente quando a distribuição de carga tem alta simetria (esférica, cilíndrica infinita, plano infinito). As condições que tornam Gauss boa são:
- Você pode escolher uma superfície gaussiana onde
seja sempre paralelo (ou sempre perpendicular) a . - O módulo de
é constante sobre partes relevantes da superfície, permitindo tirar fora da integral.
- Você pode escolher uma superfície gaussiana onde
- Exemplos onde Gauss é prática:
- Esfera com distribuição esférica uniforme (este exercício).
- Linha infinita com densidade linear uniforme (usar cilindro gaussiano).
- Plano infinito com densidade superficial (usar caixa ou pilar gaussiano).
- Quando não é conveniente:
- Para distribuições sem simetria (p.ex. carga em forma irregular, várias cargas pontuais em posições aleatórias), a Lei de Gauss ainda é verdadeira, mas não ajuda a encontrar
em forma fechada porque não se consegue simplificar a integral. Nesses casos é melhor usar a superposição e a lei de Coulomb (integração direta) ou métodos numéricos.
- Para distribuições sem simetria (p.ex. carga em forma irregular, várias cargas pontuais em posições aleatórias), a Lei de Gauss ainda é verdadeira, mas não ajuda a encontrar
- Regra prática: se você conseguir adivinhar a direção do campo e garantir que seu módulo seja constante em uma superfície simples (esfera, cilindro, plano), use Gauss — é rápido e elegante. Caso contrário, evite porque vai dar trabalho inútil.
Resposta
(A)
para
.
(B) para
(direção radial para fora).
(C) A Lei de Gauss é mais conveniente quando a distribuição de carga tem simetria (esférica, cilíndrica ou planar) de modo que o campo seja perpendicular à superfície gaussiana escolhida e de módulo constante sobre ela; para distribuições sem simetria útil, Gauss é impraticável.
(B)
(C) A Lei de Gauss é mais conveniente quando a distribuição de carga tem simetria (esférica, cilíndrica ou planar) de modo que o campo seja perpendicular à superfície gaussiana escolhida e de módulo constante sobre ela; para distribuições sem simetria útil, Gauss é impraticável.