(2,5) Uma esfera sólida isolante de raio a possui uma densidade de carga de volume uniforme r e transporta uma carga total positiva Q. (A) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto fora da esfera. (B) Calcule o campo elétrico no interior da esfera. (c) Quando é mais conveniente utilizar a Lei de Gauss?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: temos uma esfera sólida isolante de raio a com densidade de carga de volume uniforme \rho (o enunciado escreveu r, vou tratar como a densidade volumétrica \rho porque é o padrão) e que transporta uma carga total positiva Q.
  • Informação implícita: a distribuição de carga é esfericamente simétrica (uniforme em todo o volume).
  • Pergunta (A): Calcular o módulo do campo elétrico em um ponto fora da esfera (ou seja, para raio r>a).
  • Pergunta (B): Calcular o campo elétrico no interior da esfera (ou seja, para raio r<a).
  • Pergunta (C): Quando é mais conveniente utilizar a Lei de Gauss?
Isso é tudo o que o enunciado fornece / pede. A partir daqui vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entendendo a ferramenta principal: a Lei de Gauss. Vou explicar bem devagar como usar e o que cada símbolo significa.
  • A forma integral da Lei de Gauss é:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (a integral de superfície sobre toda a superfície).
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\vec{A} é o elemento vetorial de área (módulo igual à área do pedaço, direção normal para fora).
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume delimitado pela superfície escolhida.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
  • Quando a configuração tem simetria suficiente (esférica, cilíndrica ou plana infinita), podemos escolher uma superfície gaussiana tal que:
    1. \vec{E} tenha direção conhecida e constante em pontos relevantes da superfície,
    2. o produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{A} simplifica para E\,dA (ou zero).
      Nesse caso a integral vira E vezes a área total da superfície e a equação fornece E facilmente.
No nosso problema a distribuição é esfericamente simétrica (a esfera é uniforme). Isso nos permite escolher como superfície gaussiana uma esfera concêntrica de raio r. Em seguida vamos aplicar Gauss separadamente nos dois casos: r>a (fora) e r<a (dentro).

Passo 3

Caso (A): ponto fora da esfera (ou seja, queremos E quando r>a).
  • Primeiro: a superfície gaussiana escolhida é uma esfera de raio r centrada na mesma centro da esfera carregada. Pela simetria esférica:
    • \vec{E} é radial (para fora, já que Q>0) e tem o mesmo módulo em toda a superfície gaussiana.
    • O vetor área d\vec{A} também é radial para fora em cada ponto.
    • Então \vec{E}\cdot d\vec{A} = E\,dA com E constante sobre a superfície.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E \oint dA = E\cdot 4\pi r^2.
  • O total de carga contido pela superfície gaussiana, quando r>a, é toda a carga da esfera, ou seja Q_{\text{enc}}=Q.
  • Assim pela Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E:
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
  • Interpretação: para r>a o campo fora da esfera é exatamente igual ao campo de uma carga pontual Q localizada no centro da esfera (essa é uma consequência geral da simetria esférica). O campo aponta radialmente para fora.

Passo 4

Caso (B): ponto dentro da esfera (ou seja, queremos E quando r<a).
  • Novamente escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r (< a) centrada no centro da esfera carregada. Pela simetria a mesma argumentação do passo anterior vale: \vec{E} é radial e tem mesmo módulo em toda a superfície gaussiana, então
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E\cdot 4\pi r^2.
  • Agora precisamos de Q_{\text{enc}}: a carga contida dentro da esfera de raio r. Como a densidade volumétrica é uniforme \rho, a carga dentro do raio r é a densidade vezes o volume dessa esfera menor:
Q_{\text{enc}} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3.
  • O enunciado também nos deu Q como carga total da esfera de raio a. Podemos relacionar \rho e Q por:
Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi a^3} = \frac{3Q}{4\pi a^3}.
(Esse passo é só álgebra simples para eliminar \rho se preferirmos trabalhar em função de Q.)
  • Substituindo \rho em Q_{\text{enc}}:
Q_{\text{enc}} = \left(\frac{3Q}{4\pi a^3}\right)\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q\,\frac{r^3}{a^3}.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\frac{r^3}{a^3}.
  • Isolando E:
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{a^3}\,r.
  • Observações importantes e intuitivas:
    • Para r<a o campo cresce linearmente com r: E\propto r. No centro ( r=0) o campo é zero.
    • No limite r\to a^{-} (chegando à superfície por dentro) obtemos E(a^{-}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{a^2},que coincide com o resultado externo em r=a, então o campo é contínuo na superfície (não há salto no módulo do campo radial neste caso).
    • O sentido do campo é radial para fora (pois Q>0).

Passo 5

Pequena verificação e comparação com a lei de Coulomb:
  • O resultado para r>a,
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2},
é exatamente a forma do campo de Coulomb gerado por uma carga pontual Q no centro. Isso faz sentido fisicamente: uma esfera carregada uniformemente se comporta, no exterior, como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
  • Para r<a o comportamento E\propto r é típico de um volume uniformemente carregado: somente a carga interna ao raio r contribui para o campo naquele ponto; as camadas externas não contribuem (é resultado da integração vetorial simétrica — aqui usado por Gauss).

Passo 6

Resposta à parte (C): quando é mais conveniente usar a Lei de Gauss?
  • A Lei de Gauss é extremamente conveniente quando a distribuição de carga tem alta simetria (esférica, cilíndrica infinita, plano infinito). As condições que tornam Gauss boa são:
    1. Você pode escolher uma superfície gaussiana onde \vec{E} seja sempre paralelo (ou sempre perpendicular) a d\vec{A}.
    2. O módulo de \vec{E} é constante sobre partes relevantes da superfície, permitindo tirar E fora da integral.
  • Exemplos onde Gauss é prática:
    • Esfera com distribuição esférica uniforme (este exercício).
    • Linha infinita com densidade linear uniforme (usar cilindro gaussiano).
    • Plano infinito com densidade superficial (usar caixa ou pilar gaussiano).
  • Quando não é conveniente:
    • Para distribuições sem simetria (p.ex. carga em forma irregular, várias cargas pontuais em posições aleatórias), a Lei de Gauss ainda é verdadeira, mas não ajuda a encontrar E em forma fechada porque não se consegue simplificar a integral. Nesses casos é melhor usar a superposição e a lei de Coulomb (integração direta) ou métodos numéricos.
  • Regra prática: se você conseguir adivinhar a direção do campo e garantir que seu módulo seja constante em uma superfície simples (esfera, cilindro, plano), use Gauss — é rápido e elegante. Caso contrário, evite porque vai dar trabalho inútil.

Resposta

(A) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2} para \displaystyle r>a.
(B) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{a^3}\,r para \displaystyle r<a (direção radial para fora).
(C) A Lei de Gauss é mais conveniente quando a distribuição de carga tem simetria (esférica, cilíndrica ou planar) de modo que o campo seja perpendicular à superfície gaussiana escolhida e de módulo constante sobre ela; para distribuições sem simetria útil, Gauss é impraticável.

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