(1,0) Se um fluxo total através de uma superfície gaussiana é zero, as quatro afirmações a seguir poderiam ser verdadeiras. Qual das afirmações deve ser verdadeira?
(a) Não existe carga dentro da superfície.
(16) A carga total dentro da superfície é zero.
(c) O campo elétrico é zero sobre toda a superfície.
(d) O número de linhas de campo elétrico entrando na superfície se iguala ao número de linhas deixando a superfície.
(a) Não existe carga dentro da superfície.
(16) A carga total dentro da superfície é zero.
(c) O campo elétrico é zero sobre toda a superfície.
(d) O número de linhas de campo elétrico entrando na superfície se iguala ao número de linhas deixando a superfície.
Passo 1
O enunciado diz: uma superfície gaussiana tem fluxo total através dela igual a zero. São dadas quatro afirmações e precisamos escolher qual delas deve ser verdadeira:
(a) Não existe carga dentro da superfície.
(b) A carga total dentro da superfície é zero.
(c) O campo elétrico é zero sobre toda a superfície.
(d) O número de linhas de campo elétrico entrando na superfície se iguala ao número de linhas deixando a superfície.
(a) Não existe carga dentro da superfície.
(b) A carga total dentro da superfície é zero.
(c) O campo elétrico é zero sobre toda a superfície.
(d) O número de linhas de campo elétrico entrando na superfície se iguala ao número de linhas deixando a superfície.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o fluxo elétrico total através da superfície fechada vale zero. Não há outras informações sobre local das cargas (se estão dentro ou fora), sinais ou distribuições.
Passo 2
Vamos entender o que é fluxo elétrico e a relação que nos interessa (essa é a peça chave do raciocínio).
Definição de fluxo elétrico infinitesimal: para uma pequena área com vetor normal
, o fluxo elétrico através dela é
. Aqui:
é o campo elétrico no ponto da área,
é a direção normal à superfície apontando para fora, e
é a área infinitesimal.
O fluxo total através de uma superfície fechada é a soma (integral) dessas contribuições:
Definição de fluxo elétrico infinitesimal: para uma pequena área
O fluxo total através de uma superfície fechada é a soma (integral) dessas contribuições:
Passo 3
Agora a lei que relaciona fluxo com carga: a lei de Gauss (forma integral). Ela afirma:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada e
é uma constante (a permissividade do vácuo).
Isso significa: o fluxo total através de uma superfície fechada depende apenas da carga líquida (algebraicamente somada) que está dentro dela, e não das cargas fora.
Isso significa: o fluxo total através de uma superfície fechada depende apenas da carga líquida (algebraicamente somada) que está dentro dela, e não das cargas fora.
Passo 4
Aplicando a informação do enunciado: o fluxo total é zero. Pela lei de Gauss, isto implica
Logo
Interpretação: a carga total (soma algébrica de cargas positivas e negativas) dentro da superfície é zero. Isso responde diretamente a (b): a carga total dentro da superfície é zero — esta é uma consequência direta e rigorosa da lei de Gauss.
Passo 5
Agora vamos examinar cada alternativa e ver por que as outras não necessariamente devem ser verdadeiras.
-
(a) “Não existe carga dentro da superfície.”
Ternão implica que não haja cargas individuais dentro; pode haver, por exemplo, uma carga e uma carga dentro da superfície — elas somam zero, mas existem. Portanto (a) pode ser falsa; não é uma conclusão obrigatória. -
(c) “O campo elétrico é zero sobre toda a superfície.”
O fluxo total ser zero não implica queem cada ponto da superfície. O campo pode ser não nulo em várias regiões, mas com contribuição positiva em algumas áreas e negativa em outras que se cancelam na integral. Exemplo concreto: cargas fora da superfície podem produzir campos não nulos sobre a superfície e ainda assim o fluxo total será zero (pois Gauss diz que apenas cargas internas afetam o fluxo líquido). Assim (c) não é obrigatório.
Passo 6
- (d) “O número de linhas de campo elétrico entrando na superfície se iguala ao número de linhas deixando a superfície.”
Essa afirmação é uma descrição qualitativa do que significa fluxo neto zero: o número (ou densidade) de linhas que entram deve equilibrar o número (ou densidade) que sai, de modo que o total líquido é zero. Em termos físicos heurísticos (linhas de campo com densidade proporcional a), (d) é uma forma intuitiva de dizer que o fluxo líquido é zero. Entretanto, “número de linhas” é uma construção conceitual (não uma quantidade matemática rigorosa) e depende de como se desenham as linhas — portanto (d) é uma interpretação correta e compatível, mas menos rigorosa que (b). Em provas formais costuma-se preferir a afirmação matemática direta (carga total dentro é zero) como a verdade obrigatória.
Passo 7
Síntese e escolha única: a consequência matemática e rigorosa da hipótese “fluxo total = 0” é que a carga líquida dentro da superfície é zero (
). Isso corresponde exatamente à afirmação (b). As alternativas (a) e (c) são falsas em geral (mostrei contraexemplos conceituais) e (d) é uma formulação qualitativa que descreve o cancelamento do fluxo, mas não tem o nível de precisão matemática de (b) — por isso, na escolha de uma única afirmação que “deve ser verdadeira”, adotamos (b).
Resposta
(b)