Um anel de raio
carrega uma carga positiva total distribuida uniformemente
Q. Vamos supor que o anel é feito de plástico ou outro material nāo condutor, o que faz com que as cargas permaneçam imóveis.
Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?
Q. Vamos supor que o anel é feito de plástico ou outro material nāo condutor, o que faz com que as cargas permaneçam imóveis.
Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
-
Informações dadas:
- Um anel de raio
, possui carga total positiva , distribuída uniformemente sobre ele. - O anel é isolante (as cargas ficam fixas no lugar).
- Há um desenho mostrando o anel (implícito) e eixos
e — mas o enunciado pergunta de forma geral sobre linhas de campo e intensidade do campo elétrico, sem pedir um cálculo num ponto específico.
- Um anel de raio
-
Pergunta:
- “Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?”
Passo 2
O que significa “densidade das linhas de campo”? Vou explicar devagar e intuitivamente.
- Linhas de campo elétrico são uma representação visual: as setas seguem a direção do campo
em cada ponto. - A “densidade de linhas” em um ponto é a quantidade de linhas por unidade de área de uma superfície imaginária pequena perpendicular às linhas naquele ponto. Em linguagem simples: se em duas regiões as linhas estão mais juntinhas, a densidade é maior ali.
- Importante: o número absoluto de linhas que desenhamos é arbitrário (a gente escolhe quantas linhas representar). O que importa fisicamente é a densidade relativa de linhas e como ela varia no espaço.
Passo 3
Agora trago uma lei física que conecta campo e fluxo: a Lei de Gauss (forma integral).
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga dentro dela:
onde
é a permissividade do vácuo,
é o campo elétrico,
é um elemento de área com direção normal, e
é a carga interna.
- Intuição: o fluxo
mede “quantas linhas de campo atravessam” a superfície (essa é a ligação entre linhas de campo e fluxo).
Passo 4
Fazendo a ligação quantitativa entre linhas de campo e fluxo: suponha que ao total de carga
, associemos
linhas de campo (isto é uma convenção gráfica — escolhemos
linhas saindo da carga).
- O fluxo total através de uma superfície que engloba toda a carga é
- Se desenhamos
linhas saindo da carga, cada linha “carrega” uma fração do fluxo total. O fluxo por linha é
Passo 5
Agora relacionamos densidade de linhas e intensidade do campo localmente.
- Tome uma pequena área
perpendicular às linhas em um ponto. O número de linhas que atravessa essa área é . - O fluxo através dessa área é aproximadamente
(assumindo quase constante e perpendicular ao campo). - Esse fluxo corresponde a
linhas, cada uma com fluxo . Assim:
- Substituindo
,
Passo 6
Isolando a densidade de linhas (número de linhas por unidade de área) e escrevendo a relação final:
- A densidade de linhas
é
- Da equação anterior:
- Portanto
Passo 7
Interpretação física e conclusão simples (sem a constante ambígua):
- A equação mostra que a densidade de linhas é proporcional ao módulo do campo elétrico
. O fator de proporcionalidade depende de quantas linhas você escolheu desenhar por carga ; essa escolha é arbitrária. - Por isso, o enunciado físico essencial é:
Ou dito de outro modo: onde as linhas estão mais concentradas, o campo elétrico é mais intenso; onde elas estão menos concentradas, o campo é mais fraco.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Carga pontual:
e as linhas são radiais. A área de uma casca esférica cresce como , então a densidade de linhas cai como , exatamente proporcional a . - Anel no eixo: no eixo do anel o campo tem expressão
A densidade de linhas ao longo do eixo será proporcional a esse
. Em particular
em
, então as linhas não atravessam perpendicularmente a pequena área no centro do anel — a densidade ali é zero, consistente com o fato de o campo axial ser zero no centro do anel.
Passo 9
Resumo motivador: pense nas linhas como “fios de fluxo”. A intensidade do campo é medida por quantos desses fios atravessam uma área unitária perpendicular — mais fios por área = campo maior. Isso é direto da Lei de Gauss.
Resposta
A densidade das linhas de campo (número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas) é proporcional à intensidade do campo elétrico
; quantitativamente, se associarmos
linhas à carga
, então
ou, em palavras,
.