Um anel de raio R carrega uma carga positiva total distribuida uniformemente
Q. Vamos supor que o anel é feito de plástico ou outro material nāo condutor, o que faz com que as cargas permaneçam imóveis.
Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informações dadas:
    • Um anel de raio \,R, possui carga total positiva \,Q, distribuída uniformemente sobre ele.
    • O anel é isolante (as cargas ficam fixas no lugar).
    • Há um desenho mostrando o anel (implícito) e eixos x e y — mas o enunciado pergunta de forma geral sobre linhas de campo e intensidade do campo elétrico, sem pedir um cálculo num ponto específico.
  • Pergunta:
    • “Qual é a relação entre a densidade das linhas de campo e a intensidade do campo elétrico?”

Passo 2

O que significa “densidade das linhas de campo”? Vou explicar devagar e intuitivamente.
  • Linhas de campo elétrico são uma representação visual: as setas seguem a direção do campo \vec{E} em cada ponto.
  • A “densidade de linhas” em um ponto é a quantidade de linhas por unidade de área de uma superfície imaginária pequena perpendicular às linhas naquele ponto. Em linguagem simples: se em duas regiões as linhas estão mais juntinhas, a densidade é maior ali.
  • Importante: o número absoluto de linhas que desenhamos é arbitrário (a gente escolhe quantas linhas representar). O que importa fisicamente é a densidade relativa de linhas e como ela varia no espaço.

Passo 3

Agora trago uma lei física que conecta campo e fluxo: a Lei de Gauss (forma integral).
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga dentro dela:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \vec{E} é o campo elétrico, d\vec{A} é um elemento de área com direção normal, e Q_{\text{int}} é a carga interna.
  • Intuição: o fluxo \Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} mede “quantas linhas de campo atravessam” a superfície (essa é a ligação entre linhas de campo e fluxo).

Passo 4

Fazendo a ligação quantitativa entre linhas de campo e fluxo: suponha que ao total de carga \,Q, associemos N linhas de campo (isto é uma convenção gráfica — escolhemos N linhas saindo da carga).
  • O fluxo total através de uma superfície que engloba toda a carga é
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  • Se desenhamos N linhas saindo da carga, cada linha “carrega” uma fração do fluxo total. O fluxo por linha é
\phi_{\text{linha}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{N}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}\,N}.

Passo 5

Agora relacionamos densidade de linhas e intensidade do campo localmente.
  • Tome uma pequena área dA perpendicular às linhas em um ponto. O número de linhas que atravessa essa área é dN.
  • O fluxo através dessa área é aproximadamente \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\,dA (assumindo \vec{E} quase constante e dA perpendicular ao campo).
  • Esse fluxo corresponde a dN linhas, cada uma com fluxo \phi_{\text{linha}}. Assim:
E\,dA=dN\;\phi_{\text{linha}}.
  • Substituindo \phi_{\text{linha}},
E\,dA=dN\;\frac{Q}{\varepsilon_{0}N}.

Passo 6

Isolando a densidade de linhas (número de linhas por unidade de área) e escrevendo a relação final:
  • A densidade de linhas \rho_{\text{linhas}} é
\rho_{\text{linhas}}=\frac{dN}{dA}.
  • Da equação anterior:
E = \frac{Q}{\varepsilon_{0}N}\,\rho_{\text{linhas}}.
  • Portanto
\rho_{\text{linhas}}=\frac{\varepsilon_{0}N}{Q}\,E.

Passo 7

Interpretação física e conclusão simples (sem a constante ambígua):
  • A equação mostra que a densidade de linhas é proporcional ao módulo do campo elétrico E. O fator de proporcionalidade \varepsilon_{0}N/Q depende de quantas linhas N você escolheu desenhar por carga Q; essa escolha é arbitrária.
  • Por isso, o enunciado físico essencial é:
\text{densidade de linhas} \propto |\vec{E}|.
Ou dito de outro modo: onde as linhas estão mais concentradas, o campo elétrico é mais intenso; onde elas estão menos concentradas, o campo é mais fraco.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Carga pontual: \;E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}\; e as linhas são radiais. A área de uma casca esférica cresce como r^{2}, então a densidade de linhas cai como 1/r^{2}, exatamente proporcional a E(r).
  • Anel no eixo: no eixo do anel o campo tem expressão
E_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,z}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}.
A densidade de linhas ao longo do eixo será proporcional a esse E_{z}. Em particular E_{z}=0 em z=0, então as linhas não atravessam perpendicularmente a pequena área no centro do anel — a densidade ali é zero, consistente com o fato de o campo axial ser zero no centro do anel.

Passo 9

Resumo motivador: pense nas linhas como “fios de fluxo”. A intensidade do campo é medida por quantos desses fios atravessam uma área unitária perpendicular — mais fios por área = campo maior. Isso é direto da Lei de Gauss.

Resposta

A densidade das linhas de campo (número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas) é proporcional à intensidade do campo elétrico |\vec{E}|; quantitativamente, se associarmos N linhas à carga Q, então
E=\frac{Q}{\varepsilon_{0}N}\,\rho_{\text{linhas}}
ou, em palavras, \rho_{\text{linhas}}\propto|\vec{E}|.

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