Uma esfera de vidro é abandonada do alto de um edificio de 7,0 m de altura com relação ao solo. No mesmo instante, uma segunda esfera de vidro é lançada da janela do edifício a 3,5 m do solo com um ângulo de 30^circ com relação à horizontal. Sabendo que a segunda esfera atinge a altura máxima no mesmo instante em que a primeira esfera atinge o solo, determine o módulo da velocidade de lançamento da segunda esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de física sobre movimento de projéteis e queda livre. Temos duas esferas de vidro: a primeira é deixada cair do topo de um prédio de 7,0 metros, e a segunda é lançada da janela do prédio a 3,5 metros do chão, com um ângulo de 30 graus em relação à horizontal. A parada chave é que a segunda esfera atinge a altura máxima exatamente quando a primeira chega no chão. Nosso objetivo é descobrir qual foi a velocidade inicial com que a segunda esfera foi lançada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cada esfera:
  • Esfera 1 (queda livre): Ela é solta do repouso, então sua velocidade inicial é zero. Ela vai cair 7,0 metros até o chão.
  • Esfera 2 (projétil): Ela é lançada com uma velocidade inicial desconhecida, formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. Ela sobe até a altura máxima e, nesse instante, a esfera 1 acaba de tocar o chão.

Passo 3

Vamos analisar os movimentos separadamente. Primeiro, para a esfera 1, que está em queda livre:
A equação que descreve a posição em função do tempo para uma queda livre é:
s = v0 t + 12 g t^2
Aqui, $ s $ é a distância percorrida (7,0 m), $ v_{0} $ é a velocidade inicial (que é 0, já que a esfera foi solta), $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²), e $ t $ é o tempo que leva para a esfera atingir o chão.
Substituindo os valores:
s
Isso simplifica para:
v0

Passo 4

Resolvendo para $ t $:
t
Então, a esfera 1 leva aproximadamente 1,195 segundos para chegar ao chão.

Passo 5

Agora, vamos para a esfera 2, que é lançada com velocidade inicial $ v_{0} $ a um ângulo de 30 graus. Queremos encontrar $ v_{0} $ tal que a esfera atinja sua altura máxima exatamente em 1,195 segundos.
A altura máxima de um projétil é atingida quando sua velocidade vertical se torna zero. A equação para a velocidade vertical em função do tempo é:
v0
No ponto mais alto, $ v_{y} = 0 $:
v0
A componente vertical da velocidade inicial $ v_{0y} $ pode ser relacionada à velocidade inicial $ v_{0} $ pelo ângulo de lançamento:
vy = v0y - g t
Substituindo:
vy = 0
Sabemos que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $, então:
0 = v0y - g t v0y = g t

Passo 6

Calculando os valores:
v0 = 9,8 times 1,1950,5 v0 = 11,7110,5 v0 = 23,422 m/s

Resposta

A velocidade inicial da segunda esfera é de aproximadamente 23,42 m/s.

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