No instante igual a zero, uma particula encontra-se na posição x=3,0 m e y= -4,0 m. Sabendo que a posição da partícula é dada pela expressão r(t)= (3,0 t^2+3,0) imath+(-4,0+2,0 t^3) jmath. Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante igual a 10 s .

Passo 1

Vamos resolver um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. Neste exercício, queremos encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula no instante de 10 segundos. Para isso, vamos usar a expressão da posição da partícula em função do tempo fornecida no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da posição da partícula:
r(t) = (3.0 , t^2 + 3.0) imath + (-4.0 + 2.0 , t^3) jmath
Aqui, r(t) representa a posição da partícula no tempo t, com componentes nas direções x (representada por imath) e y (representada por jmath).

Passo 3

Para encontrar a velocidade da partícula, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo. A velocidade é a derivada da posição:
v(t) = dr(t)dt
Vamos calcular a derivada de cada componente:
Para a componente x:
ddt(3.0 , t^2 + 3.0) = 6.0 , t
Para a componente y:
ddt(-4.0 + 2.0 , t^3) = 6.0 , t^2
Então, a velocidade fica:
v(t) = 6.0 , t , imath + 6.0 , t^2 , jmath

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração, precisamos derivar a função velocidade em relação ao tempo. A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = dv(t)dt
Vamos calcular a derivada de cada componente:
Para a componente x:
ddt(6.0 , t) = 6.0
Para a componente y:
ddt(6.0 , t^2) = 12.0 , t
Então, a aceleração fica:
a(t) = 6.0 , imath + 12.0 , t , jmath

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a velocidade e a aceleração no instante t = 10 segundos substituindo t = 10 nas expressões que encontramos.
Para a velocidade:
v(10) = 6.0 times 10 , imath + 6.0 times (10)^2 , jmath = 60 , imath + 600 , jmath , m/s
Para a aceleração:
a(10) = 6.0 , imath + 12.0 times 10 , jmath = 6.0 , imath + 120 , jmath , m/s^2

Resposta

No instante de 10 segundos, a velocidade da partícula é v(10) = 60 , imath + 600 , jmath , m/s e a aceleração é a(10) = 6.0 , imath + 120 , jmath , m/s^2.

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