Nome:
Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,0 times 10^4 s em torno da um planeta com 7,00 times 10^24 kg de massa. No ponto mais afastado, a uma distância de 4,5 times 10^7 m do centro do planeta, a velocidade do satélite é 3,22 km / s. Qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem um satélite que está fazendo uma órbita elíptica ao redor de um planeta que tem uma massa de 7,00 times 10^24 kg. O período dessa órbita é de 8,0 times 10^4 s, ou seja, o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa. No ponto mais afastado do planeta, chamado de apoastro, o satélite está a 4,5 times 10^7 m do centro do planeta e sua velocidade é de 3,22 km/s. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do satélite quando ele está no ponto mais próximo do planeta, que é chamado de periastro.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de Mecânica Celeste, especificamente as Leis de Kepler e a Equação de Vis-Viva que relaciona a velocidade de um satélite com sua posição na órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o SI para facilitar os cálculos. A velocidade no apoastro está em km/s, então vamos converter para m/s:
va = 3,22 km/s = 3220 m/s

Passo 3

Agora, precisamos determinar o semi-eixo maior ( a) da órbita elíptica. Para isso, usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período ( T) da órbita com o semi-eixo maior:
T = 2pi raiza^3G M
Onde:
  • T = 8,0 times 10^4 s é o período,
  • G = 6,67430 times 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2 é a constante gravitacional,
  • M = 7,00 times 10^24 kg é a massa do planeta.
Vamos rearrumar a fórmula para encontrar a:
a^3 = G M T^24pi^2
Substituindo os valores:
a^3 = 6,67430 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times (8,0 times 10^4)^24pi^2
Calculando isso, encontramos o valor de a. Vamos fazer a conta:
a^3 = 6,67430 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times 6,4 times 10^939,4784 approx 7,545 times 10^22 m^3
Agora, tiramos a raiz cúbica para achar a:
a = raiz[3]7,545 times 10^22 approx 4,23 times 10^7 m

Passo 4

Sabemos que em uma órbita elíptica, a distância no apoastro ( ra) e no periastro ( rp) estão relacionadas com o semi-eixo maior ( a) pela fórmula:
ra = a(1 + e)
rp = a(1 - e)
Onde e é a excentricidade da órbita. Vamos usar a informação do apoastro para encontrar e:
4,5 times 10^7 = 4,23 times 10^7(1 + e)
Resolvendo para e:
1 + e = 4,5 times 10^74,23 times 10^7 approx 1,064
e approx 0,064
Agora, encontramos rp:
rp = 4,23 times 10^7(1 - 0,064) approx 4,23 times 10^7 times 0,936 approx 3,96 times 10^7 m

Passo 5

Para encontrar a velocidade no periastro ( vp), vamos usar a Lei da Conservação do Momento Angular. Ela nos diz que:
ra va = rp vp
Isso ocorre porque o momento angular deve ser constante na órbita. Rearranjando para encontrar vp:
vp = ra varp
Substituindo os valores que já temos:
vp = 4,5 times 10^7 times 32203,96 times 10^7 approx 1,449 times 10^113,96 times 10^7 approx 3,66 times 10^3 m/s
Convertendo para km/s:
vp approx 3,66 km/s

Resposta

A velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta é aproximadamente 3,66 km/s.

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