Nome:
Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de
em torno da um planeta com
de massa. No ponto mais afastado, a uma distância de
do centro do planeta, a velocidade do satélite é
. Qual a velocidade do satélite quando ele está mais próximo?
Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem um satélite que está fazendo uma órbita elíptica ao redor de um planeta que tem uma massa de
. O período dessa órbita é de
, ou seja, o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa. No ponto mais afastado do planeta, chamado de apoastro, o satélite está a
do centro do planeta e sua velocidade é de
. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do satélite quando ele está no ponto mais próximo do planeta, que é chamado de periastro.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de Mecânica Celeste, especificamente as Leis de Kepler e a Equação de Vis-Viva que relaciona a velocidade de um satélite com sua posição na órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o SI para facilitar os cálculos. A velocidade no apoastro está em km/s, então vamos converter para m/s:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o semi-eixo maior (
) da órbita elíptica. Para isso, usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período (
) da órbita com o semi-eixo maior:
Onde:
-
é o período, -
é a constante gravitacional, -
é a massa do planeta.
Vamos rearrumar a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando isso, encontramos o valor de
. Vamos fazer a conta:
Agora, tiramos a raiz cúbica para achar
:
Passo 4
Sabemos que em uma órbita elíptica, a distância no apoastro (
) e no periastro (
) estão relacionadas com o semi-eixo maior (
) pela fórmula:
Onde
é a excentricidade da órbita. Vamos usar a informação do apoastro para encontrar
:
Resolvendo para
:
Agora, encontramos
:
Passo 5
Para encontrar a velocidade no periastro (
), vamos usar a Lei da Conservação do Momento Angular. Ela nos diz que:
Isso ocorre porque o momento angular deve ser constante na órbita. Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores que já temos:
Convertendo para km/s:
Resposta
A velocidade do satélite quando ele está mais próximo do planeta é aproximadamente
.