Esferas de pães de milho ( \rho=0,22 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{k}=2,55 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e \mathrm{Cp}=1,13 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ) de 5 cm de diâmetro são assadas e saem do forno a 200^{\circ} \mathrm{C}. Ficam reservadas à temperatura ambiente ( 25^{\circ} \mathrm{C} ) até serem resfriadas à 30^{\circ} \mathrm{C}, quando são embaladas. Se o coeficiente médio de transferência de calor (h) é de 10,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determine:
a) O tempo gasto para resfriamento de um pão de milho;
b) Quanto calor é transferido para o ambiente durante o resfriamento de 10 mil pāes de milho?

Passo 1

Vou identificar exatamente o que o enunciado fornece e o que pede, ponto a ponto:
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\rho=0,22\\ \mathrm{g/cm^3},\\\ &k=2,55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &C_p=1,13\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\\\ &\text{diâmetro}=5\\ \mathrm{cm},\\\ &T_i=200^\circ\mathrm{C},\\\ &T_\infty=25^\circ\mathrm{C},\\\ &T_f=30^\circ\mathrm{C},\\\ &h=10,0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. \end{aligned}â
    Observação: converterei unidades quando necessário para trabalhar no SI.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o tempo gasto para um pão resfriar de T_i=200^\circ\mathrm{C} até T_f=30^\circ\mathrm{C} ao ar ambiente T_\infty=25^\circ\mathrm{C} com h=10{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    (b) Determinar a quantidade de calor transferido para o ambiente durante o resfriamento de 10{,}000 pães (até 30^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Primeiros passos práticos: converter unidades e calcular dimensões geométricas da esfera (pão).
  • Conversões:
    \rho=0,22\\ \mathrm{g/cm^3}=220\\ \mathrm{kg/m^3}, \qquad C_p=1{,}13\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=1130\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Geometria (diâmetro =5\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio):
    r=\frac{5\\ \mathrm{cm}}{2}=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Volume da esfera:
    V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}025)^3 =6{,}54498\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
  • Área de superfície da esfera:
    A=4\pi r^2=4\pi(0{,}025)^2=7{,}85398\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Verificar se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped-capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
  • Comprimento característico para esfera:
    L_c=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}=0{,}025/3=0{,}0083333\\ \mathrm{m}.
  • Número de Biot:
    \mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{k}=\frac{10{,}0\cdot0{,}0083333}{2{,}55}=0{,}0327\\ (\approx0{,}033).
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo lumped é válido. Aqui \mathrm{Bi}\approx0{,}033<0{,}1, então posso tratar o pão como um corpo com temperatura uniforme que decai exponencialmente no tempo.

Passo 4

Escrever a equação do modelo lumped (e explicar cada termo):
  • A equação diferencial de balanço de energia (para temperatura do corpo T(t)) leva a solução
    \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\right).
    Onde:
    • T(t) é a temperatura do pão no tempo t.
    • T_\infty é a temperatura do meio (ambiente).
    • T_i é a temperatura inicial.
    • h é o coeficiente convectivo.
    • A é a área de troca.
    • \rho é a densidade.
    • V é o volume.
    • C_p é o calor específico (em J/kgK).
  • Definimos a constante de tempo térmica
    \tau=\frac{\rho V C_p}{hA},
    que tem dimensão de tempo e representa a rapidez do resfriamento (quanto maior \tau, mais lento o resfriamento).

Passo 5

Calcular massa e capacidade térmica do pão (passo-a-passo numérico):
  • Massa do pão:
    m=\rho V=220\cdot6{,}54498\times10^{-5}=0{,}014399\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica do pão (energia necessária para elevar 1 K):
    mC_p=0{,}014399\cdot1130=16{,}2719\\ \mathrm{J/K}.
  • Produto hA (condutância térmica por convecção):
    hA=10{,}0\cdot7{,}85398\times10^{-3}=0{,}0785398\\ \mathrm{W/K}.

Passo 6

Calcular a constante de tempo \tau e o tempo requerido para atingir T_f=30^\circ\mathrm{C}.
  • Constante de tempo:
    \tau=\frac{mC_p}{hA}=\frac{16{,}2719}{0{,}0785398}=207{,}17\\ \mathrm{s}.
  • Relação exponencial para tempo t:
    \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right).
    Substituindo T_i=200^\circ\mathrm{C}, T_\infty=25^\circ\mathrm{C} e T_f=30^\circ\mathrm{C}:
    \frac{30-25}{200-25}=\frac{5}{175}=\frac{1}{35}=e^{-t/\tau}.
    Tomando logaritmo natural:
    -\frac{t}{\tau}=\ln\!\left(\frac{1}{35}\right)=-\ln(35)\quad\Rightarrow\quad t=\tau\ln(35).
  • Valor numérico:
    t=207{,}17\cdot\ln(35)=207{,}17\cdot3{,}555348=736{,}6\\ \mathrm{s}.
    Convertendo para minutos:
    736{,}6\\ \mathrm{s}\approx12{,}28\\ \mathrm{min}\\ (\text{12 min e 17 s}).

Passo 7

Calcular a quantidade de calor liberada até 30^\circ\mathrm{C}, por pão e para 10{,}000 pães.
  • Calor liberado por um pão (assumindo processo a pressão constante, sem outras perdas, energia sensível):
    Q_{\text{um}}=mC_p(T_i-T_f)=16{,}2719\cdot(200-30)=16{,}2719\cdot170=2{,}7662\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Para 10{,}000 pães:
    Q_{\text{total}}=10{,}000\cdot Q_{\text{um}}=10{,}000\cdot2{,}7662\times10^{3} =2{,}7662\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
    Em mega-joules:
    Q_{\text{total}}=27{,}662\\ \mathrm{MJ}.

Resposta

(a) t\approx736{,}6\\ \mathrm{s}\approx12{,}28\\ \mathrm{min}.
(b) Q_{\text{total}}\approx2{,}7662\times10^{7}\\ \mathrm{J}=27{,}662\\ \mathrm{MJ}.

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