Esferas de pães de milho (
e
) de 5 cm de diâmetro são assadas e saem do forno a
. Ficam reservadas à temperatura ambiente (
) até serem resfriadas à
, quando são embaladas. Se o coeficiente médio de transferência de calor (h) é de
, determine:
a) O tempo gasto para resfriamento de um pão de milho;
b) Quanto calor é transferido para o ambiente durante o resfriamento de 10 mil pāes de milho?
a) O tempo gasto para resfriamento de um pão de milho;
b) Quanto calor é transferido para o ambiente durante o resfriamento de 10 mil pāes de milho?
Passo 1
Vou identificar exatamente o que o enunciado fornece e o que pede, ponto a ponto:
-
Dados fornecidos:Observação: converterei unidades quando necessário para trabalhar no SI.
-
Perguntas:
(a) Determinar o tempo gasto para um pão resfriar deaté ao ar ambiente com .
(b) Determinar a quantidade de calor transferido para o ambiente durante o resfriamento depães (até ).
Passo 2
Primeiros passos práticos: converter unidades e calcular dimensões geométricas da esfera (pão).
-
Conversões:
-
Geometria (diâmetro
raio): -
Volume da esfera:
-
Área de superfície da esfera:
Passo 3
Verificar se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped-capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
-
Comprimento característico para esfera:
-
Número de Biot:
Regra prática: se
o modelo lumped é válido. Aqui
, então posso tratar o pão como um corpo com temperatura uniforme que decai exponencialmente no tempo.
Passo 4
Escrever a equação do modelo lumped (e explicar cada termo):
-
A equação diferencial de balanço de energia (para temperatura do corpo
) leva a solução Onde:-
é a temperatura do pão no tempo . -
é a temperatura do meio (ambiente). -
é a temperatura inicial. -
é o coeficiente convectivo. -
é a área de troca. -
é a densidade. -
é o volume. -
é o calor específico (em J/kgK).
-
-
Definimos a constante de tempo térmicaque tem dimensão de tempo e representa a rapidez do resfriamento (quanto maior
, mais lento o resfriamento).
Passo 5
Calcular massa e capacidade térmica do pão (passo-a-passo numérico):
-
Massa do pão:
-
Capacidade térmica do pão (energia necessária para elevar 1 K):
-
Produto
(condutância térmica por convecção):
Passo 6
Calcular a constante de tempo
e o tempo requerido para atingir
.
-
Constante de tempo:
-
Relação exponencial para tempo
: Substituindo, e : Tomando logaritmo natural: -
Valor numérico:Convertendo para minutos:
Passo 7
Calcular a quantidade de calor liberada até
, por pão e para
pães.
-
Calor liberado por um pão (assumindo processo a pressão constante, sem outras perdas, energia sensível):
-
Para
pães: Em mega-joules:
Resposta
(a)
(b)