\underline{4}^{\text {a }} Questão: Considere o escoamento de um fluido compressível através do paralelepípedo 0<x<L, \quad 0<y<2 L, \quad-L<z<L. Sobre a face x=0 deste paralelepípedo a distribuição de velocidades é \mathbf{v}=\alpha t \mathbf{i}+\beta y \mathbf{j} e sobre a face y=2 L do paralelepípedo a distribuição de velocidades é \mathbf{v}=\boldsymbol{\gamma} \mathbf{i}+\boldsymbol{\beta} \mathbf{z k}. As demais faces são impermeáveis. Supondo que a densidade do fluido no interior do paralelepípedo seja função apenas do tempo e que, no instante inicial, \rho=\rho_{0}= constante, obtenha \rho em função do tempo t. São dados \alpha, \beta, \gamma, \rho_{0} e L.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a densidade do fluido como função do tempo, sob as condições geométricas e de velocidade dadas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Domínio (paralelepípedo): 0<x<L,\;0<y<2L,\;-L<z<L.
  • Face x=0: a distribuição de velocidade é \mathbf{v}=\alpha t\,\mathbf{i}+\beta y\,\mathbf{j}.
  • Face y=2L: a distribuição de velocidade é \mathbf{v}=\gamma\,\mathbf{i}+\beta z\,\mathbf{k}. (Estou lendo a componente \beta z na direção \mathbf{k} a partir da expressão dada.)
  • As demais faces são impermeáveis (isto é, o componente normal da velocidade nessas faces é zero).
  • A densidade é função somente do tempo: \rho=\rho(t).
  • Condição inicial: no instante inicial \rho(0)=\rho_{0} (constante).
  • Parâmetros conhecidos: \alpha,\beta,\gamma,\rho_{0},L.
Pergunta: obter \rho(t) em função de t.

Passo 2

Qual ferramenta vamos usar e por quê (aula curta): conservação de massa (continuidade) em forma integral.
  • A conservação de massa para um volume fixo V diz que a taxa de variação da massa contida mais o fluxo de massa através das superfícies deve ser zero. Em fórmula:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV+\int_{\partial V}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS=0.
Explicando os termos:
  • \int_{V}\rho\,dV é a massa total dentro do volume V.
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário na superfície \partial V, tomado como a norma exterior (apontando para fora do volume).
  • \int_{\partial V}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS é a taxa de perda de massa por fluxo através da superfície (fluxo positivo quando sai do domínio).
  • Aqui o volume V é fixo (as paredes do paralelepípedo não se movem), então podemos tirar V fora da derivada se \rho for espacialmente uniforme.
Observação importante (usando a hipótese do enunciado): como \rho=\rho(t) (não depende de x,y,z), podemos simplificar a integral de volume e também tirar \rho fora da integral de superfície quando necessário.

Passo 3

Calcular o volume do paralelepípedo e escrever a primeira integral explicitamente.
  • Dimensões: comprimento em x é L, em y é 2L, em z é 2L (de -L a L).
  • Volume:
V = L \cdot (2L) \cdot (2L) = 4L^{3}.
  • Como \rho=\rho(t), a massa total é \int_{V}\rho\,dV=\rho(t)\,V. Portanto
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV = \frac{d}{dt}\big(\rho(t)\,V\big) = V\,\frac{d\rho}{dt},
já que V é constante.

Passo 4

Calcular o fluxo de massa através da superfície usando as velocidades fornecidas. Vamos analisar face por face (lembrando que nas faces impermeáveis o componente normal da velocidade é zero).
Primeiro identifique as faces potencialmente com fluxo não nulo:
  • Face x=0 (plano x=0), área está em y,z com 0\le y\le 2L, -L\le z\le L. Vetor normal exterior é \mathbf{n}=-\mathbf{i}.
  • Face x=L: é dita impermeável (pelas condições do enunciado “as demais faces são impermeáveis”), logo \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 aí.
  • Face y=2L (plano y=2L), área em x,z, vetor normal exterior é \mathbf{n}=+\mathbf{j}. Essa face tem velocidade dada no enunciado.
  • Face y=0: impermeável → sem fluxo.
  • Faces z=\pm L: impermeáveis → sem fluxo.
Logo somente as faces x=0 e y=2L merecem cálculo (as outras contribuições são zero).

Passo 5

Fluxo através da face x=0.
  • Na face x=0 temos \mathbf{v}=\alpha t\,\mathbf{i}+\beta y\,\mathbf{j}.
  • Normal exterior é \mathbf{n}=-\mathbf{i}.
  • Produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = (\alpha t)\cdot(-1) + (\beta y)\cdot 0 = -\alpha t.
  • Área dessa face: A_{x=0}=(\Delta y)(\Delta z)=(2L)\cdot(2L)=4L^{2}.
  • Como \rho é espacialmente uniforme, o fluxo de massa através dessa face é
\int_{\text{face }x=0}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = \rho(t)\cdot(-\alpha t)\cdot 4L^{2} = -4\alpha L^{2}\,t\,\rho(t).
Interpretação rápida: resultado negativo indica que, com a orientação exterior, a contribuição é entrada de massa (o sinal só importa na soma com os outros fluxos).

Passo 6

Fluxo através da face y=2L.
  • Na face y=2L temos \mathbf{v}=\gamma\,\mathbf{i}+\beta z\,\mathbf{k}.
  • Normal exterior é \mathbf{n}=+\mathbf{j}.
  • Produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0 porque não há componente na direção \mathbf{j} nessa expressão (apenas \mathbf{i} e \mathbf{k}).
  • Logo
\int_{\text{face }y=2L}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.

Passo 7

Somando os fluxos e montando a equação de conservação de massa.
  • Soma das contribuições de superfície: apenas a de x=0 fica, portanto
\int_{\partial V}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = -4\alpha L^{2}\,t\,\rho(t).
  • A equação de conservação de massa ficou (ver Passo 2 e Passo 3):
V\,\frac{d\rho}{dt} + \int_{\partial V}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
Substituindo V=4L^{3} e a integral:
4L^{3}\,\frac{d\rho}{dt} - 4\alpha L^{2}\,t\,\rho(t) = 0.
  • Simplificando (dividindo por 4L^{2}, supondo L\neq 0):
L\,\frac{d\rho}{dt} - \alpha t\,\rho(t) = 0,
ou seja
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\alpha}{L}\,t\,\rho(t).

Passo 8

Resolver a equação diferencial (separável) e aplicar a condição inicial.
  • Escrevemos a equação separável:
\frac{1}{\rho}\,\frac{d\rho}{dt} = \frac{\alpha}{L}\,t.
  • Integramos em t:
\int \frac{1}{\rho}\,d\rho = \int \frac{\alpha}{L}\,t\,dt.
  • A integral do lado esquerdo dá \ln\rho. A do lado direito dá \dfrac{\alpha}{L}\cdot\dfrac{t^{2}}{2}. Assim
\ln\rho(t) = \frac{\alpha}{2L}\,t^{2} + C,
onde C é constante de integração.
  • Aplicando a condição inicial \rho(0)=\rho_{0}:
\ln\rho_{0} = \frac{\alpha}{2L}\cdot 0^{2} + C \quad\Rightarrow\quad C=\ln\rho_{0}.
  • Portanto
\ln\rho(t) = \ln\rho_{0} + \frac{\alpha}{2L}\,t^{2}.
  • Exponenciando:
\rho(t) = \rho_{0}\,\exp\!\bigg(\frac{\alpha}{2L}\,t^{2}\bigg).

Resposta

\rho(t)=\rho_{0}\exp\!\bigg(\dfrac{\alpha}{2L}\,t^{2}\bigg)

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