Questão: Considere o escoamento de um fluido compressível através do paralelepípedo
. Sobre a face
deste paralelepípedo a distribuição de velocidades é
e sobre a face
do paralelepípedo a distribuição de velocidades é
. As demais faces são impermeáveis. Supondo que a densidade do fluido no interior do paralelepípedo seja função apenas do tempo e que, no instante inicial,
constante, obtenha
em função do tempo
. São dados
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a densidade do fluido como função do tempo, sob as condições geométricas e de velocidade dadas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Domínio (paralelepípedo):
. - Face
: a distribuição de velocidade é . - Face
: a distribuição de velocidade é . (Estou lendo a componente na direção a partir da expressão dada.) - As demais faces são impermeáveis (isto é, o componente normal da velocidade nessas faces é zero).
- A densidade é função somente do tempo:
. - Condição inicial: no instante inicial
(constante). - Parâmetros conhecidos:
.
Pergunta: obter
em função de
.
Passo 2
Qual ferramenta vamos usar e por quê (aula curta): conservação de massa (continuidade) em forma integral.
- A conservação de massa para um volume fixo
diz que a taxa de variação da massa contida mais o fluxo de massa através das superfícies deve ser zero. Em fórmula:
Explicando os termos:
-
é a massa total dentro do volume . -
é o vetor normal unitário na superfície , tomado como a norma exterior (apontando para fora do volume). -
é a taxa de perda de massa por fluxo através da superfície (fluxo positivo quando sai do domínio). - Aqui o volume
é fixo (as paredes do paralelepípedo não se movem), então podemos tirar fora da derivada se for espacialmente uniforme.
Observação importante (usando a hipótese do enunciado): como
(não depende de
), podemos simplificar a integral de volume e também tirar
fora da integral de superfície quando necessário.
Passo 3
Calcular o volume do paralelepípedo e escrever a primeira integral explicitamente.
- Dimensões: comprimento em
é , em é , em é (de a ). - Volume:
- Como
, a massa total é . Portanto
já que
é constante.
Passo 4
Calcular o fluxo de massa através da superfície usando as velocidades fornecidas. Vamos analisar face por face (lembrando que nas faces impermeáveis o componente normal da velocidade é zero).
Primeiro identifique as faces potencialmente com fluxo não nulo:
- Face
(plano ), área está em com , . Vetor normal exterior é . - Face
: é dita impermeável (pelas condições do enunciado “as demais faces são impermeáveis”), logo aí. - Face
(plano ), área em , vetor normal exterior é . Essa face tem velocidade dada no enunciado. - Face
: impermeável → sem fluxo. - Faces
: impermeáveis → sem fluxo.
Logo somente as faces
e
merecem cálculo (as outras contribuições são zero).
Passo 5
Fluxo através da face
.
- Na face
temos . - Normal exterior é
. - Produto escalar
. - Área dessa face:
. - Como
é espacialmente uniforme, o fluxo de massa através dessa face é
Interpretação rápida: resultado negativo indica que, com a orientação exterior, a contribuição é entrada de massa (o sinal só importa na soma com os outros fluxos).
Passo 6
Fluxo através da face
.
- Na face
temos . - Normal exterior é
. - Produto escalar
porque não há componente na direção nessa expressão (apenas e ). - Logo
Passo 7
Somando os fluxos e montando a equação de conservação de massa.
- Soma das contribuições de superfície: apenas a de
fica, portanto
- A equação de conservação de massa ficou (ver Passo 2 e Passo 3):
Substituindo
e a integral:
- Simplificando (dividindo por
, supondo ):
ou seja
Passo 8
Resolver a equação diferencial (separável) e aplicar a condição inicial.
- Escrevemos a equação separável:
- Integramos em
:
- A integral do lado esquerdo dá
. A do lado direito dá . Assim
onde
é constante de integração.
- Aplicando a condição inicial
:
- Portanto
- Exponenciando: