Para um espaço de dimensão 3 calcule:
(a)
,
(b)
,
(c)
.
Quais são os resultados para um espaço de dimensão n?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede, em um espaço de dimensão 3, para calcular
(a) ,
(b) ,
(c) .
O conteúdo é o uso das propriedades do delta de Kronecker e da contração de índices em tensores.
(a)
(b)
(c)
O conteúdo é o uso das propriedades do delta de Kronecker e da contração de índices em tensores.
Passo 2
Para (a), por definição
Como
para cada
, temos
Passo 3
Para (b), escrevemos
Mas
vale
só quando
e
caso contrário, logo a dupla soma reduz-se a
Passo 4
Para (c), primeiro notamos que
Logo
que é o traço do tensor
.
Passo 5
Em dimensão
as mesmas contas dão
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
Em dimensão
:
,
,
.