Para um espaço de dimensão 3 calcule:
(a) de<ai i,
(b) de<ai j de<ai j,
(c) de<ai j de<aj k ci k.
Quais são os resultados para um espaço de dimensão n?

Passo 1

O enunciado pede, em um espaço de dimensão 3, para calcular
(a) de<aii,
(b) de<aij,de<aij,
(c) de<aij,de<ajk,cik.
O conteúdo é o uso das propriedades do delta de Kronecker e da contração de índices em tensores.

Passo 2

Para (a), por definição
de<aii = sumi=1^3de<aii
Como de<aii=1 para cada i, temos
de<aii=1+1+1=3

Passo 3

Para (b), escrevemos
de<aij,de<aij =sumi=1^3sumj=1^3de<aij,de<aij
Mas de<aij vale 1 só quando i=j e 0 caso contrário, logo a dupla soma reduz-se a
sumi=1^31 = 3

Passo 4

Para (c), primeiro notamos que
de<aij,de<ajk = de<aik
Logo
de<aij,de<ajk,cik = de<aik,cik = cii,
que é o traço do tensor c.

Passo 5

Em dimensão n as mesmas contas dão
de<aii=n, de<aij,de<aij=n, de<aij,de<ajk,cik=cii

Resposta

(a) de<aii=3
(b) de<aijde<aij=3
(c) de<aijde<ajkcik=cii
Em dimensão n:
de<aii=n,
de<aijde<aij=n,
de<aijde<ajkcik=cii.

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