(b) Para o espaço euclideano R^4 encontre uma base ortogonal que contenha os vetores [c1 2 -1 0] e [l1 0 1 3]

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de R^4 que contenha os vetores
v1=(1,2,-1,0)^T e v2=(1,0,1,3)^T.
O espaço vem equipado com o produto interno usual e vamos usar o processo de Gram–Schmidt para estender v1,v2 a uma base ortogonal de todo R^4.

Passo 2

Primeiro verificamos se v1 e v2 já são ortogonais, calculando
lang<= v1,v2rang<= =1cdot1+2cdot0+(-1)cdot1+0cdot3=1-1=0
Como lang<= v1,v2rang<==0, podemos tomar
w1=v1, w2=v2
como os dois primeiros vetores ortogonais da base.

Passo 3

Escolhemos um vetor auxiliar u3=(0,1,0,0)^T que é linearmente independente de w1,w2 e aplicamos Gram–Schmidt:
projw1(u3) =lang<= u3,w1rang<=lang<= w1,w1rang<=,w1 =26,w1 =tfrac13,w1
Como lang<= u3,w2rang<==0, não há projeção em w2. Logo
w3=u3-tfrac13,w1 =l(0,1,0,0r)^T -tfrac13l(1,2,-1,0r)^T =l(-tfrac13,tfrac13,tfrac13,0r)^T
Para evitar frações definimos
v3=3,w3=l(-1,1,1,0r)^T,
que é ortogonal a w1 e w2.

Passo 4

Agora escolhemos u4=(0,0,0,1)^T. Calculamos as projeções:
lang<= u4,w1rang<==0, lang<= u4,w2rang<==3, lang<= w2,w2rang<==11, lang<= u4,v3rang<==0
Logo só há projeção em w2:
projw2(u4) =311,w2 =311l(1,0,1,3r)^T,
e
w4 =u4-311w2 =l(0,0,0,1r)^T -l(tfrac311,0,tfrac311,tfrac911r)^T =l(-tfrac311,0,-tfrac311,tfrac211r)^T
Para limpar frações, definimos
v4=11,w4=l(-3,0,-3,2r)^T,
que é ortogonal a w1,w2,v3.

Resposta

Uma base ortogonal de R^4 contendo os vetores dados é formada por
v1=(1,2,-1,0)^T
v2=(1,0,1,3)^T
v3=(-1,1,1,0)^T
v4=(-3,0,-3,2)^T

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