(a) V=R^3, W1, gerado por [l1 0 1],[c1 -1 0]
(b) V=R^3, W2=[lx y z] in R^3 / x-y+z=0
(c) V=R^4, W3=[lx y z w] in R^4 / x+y-2 z-2 w=0.

Passo 1

O enunciado dá três subespaços vetoriais W1subsetR^3, W2subsetR^3 e W3subsetR^4. Em cada caso queremos encontrar uma base de Wi e sua dimensão. Para isso usamos duas ideias principais: (i) um subespaço gerado por vetores tem dimensão igual ao número de vetores de uma base (ou seja, ao número máximo de vetores independentes naquele gerador); (ii) um subespaço dado por uma equação linear pode ser parametrizado, mostrando que sua dimensão é n-1 e extraindo vetores base a partir dos parâmetros.

Passo 2

Analisando
Isso dá o sistema
Da terceira equação . Logo são independentes e formam uma base de . Concluímos que .

Passo 3

Para , note que uma única equação linear reduz a dimensão de em 1, então . Para encontrar uma base, escrevemos
e parametrizamos por e :
Logo é uma base de .

Passo 4

Para , vemos mais uma vez uma única equação linear em , então . Reescrevendo
e parametrizando por , temos
Assim é uma base de .

Resposta

(a) dim W1=2, base l101,1-10r
(b) dim W2=2, base l110,-101r
(c) dim W3=3, base l-1100,2010,2001r

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