Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{3} encontre uma base ortogonal que contenha o vetor \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contenha o vetor \mathbf v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}. Para isso, vamos completar \mathbf v_1 com dois vetores ortogonais a ele, usando Gram–Schmidt. Passo 2Procuramos dois vetores \mathbf w_2 e \mathbf w_3 que satisfaçam \mathbf v_1\cdot \mathbf w_i =0,\quad i=2,3. Da equação 1\cdot x + 3\cdot y +5\cdot z=0 podemos escolher, por exemplo, \mathbf w_2 = \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, pois \mathbf v_1\cdot \mathbf w_2 = -3+3+0=0 e \mathbf v_1\cdot \mathbf w_3 = -5+0+5=0. Passo 3Aplicamos Gram–Schmidt a \mathbf w_2,\mathbf w_3 para torná-los ortogonais entre si: \mathbf u_2 = \mathbf w_2, \qquad \mathbf u_3 = \mathbf w_3 - \frac{\mathbf w_3\cdot\mathbf u_2}{\mathbf u_2\cdot\mathbf u_2}\,\mathbf u_2. Calculamos \mathbf w_3\cdot\mathbf u_2 = (-5)(-3)+0\cdot1+1\cdot0 = 15, \quad \mathbf u_2\cdot\mathbf u_2 = (-3)^2+1^2+0^2 = 10, logo \mathbf u_3 = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \frac{15}{10}\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\tfrac{9}{2}\\tfrac{3}{2}\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ -\tfrac32\\\ 1\end{pmatrix}. Multiplicando \mathbf u_3 por 2 (sem perder ortogonalidade) fica \mathbf u_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}. Passo 4Verificações rápidas: \mathbf v_1\cdot\mathbf u_2=0, \mathbf v_1\cdot\mathbf u_3=0, \mathbf u_2\cdot\mathbf u_3=0. Logo \{\mathbf v_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^3. Resposta \left\{ \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} \right\}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam V um espaço vetorial com produto interno \langle, \rangle e \beta uma base de V, use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal \beta^{\prime} de V, nos seguintes casos. V=\mathbb{R}^{3} munido do produto escalar com pesos p_{1}=1, p_{2}=2, p_{3}=1 e \beta= \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} Sejam V um espaço vetorial com produto interno \langle, \rangle e \beta uma base de V, use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal \beta^{\prime} de V, nos seguintes casos. V=\mathbb{R}^{3} munido do produto escalar com pesos p_{1}=1, p_{2}=2, p_{3}=1 e \beta= \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{3} encontre uma base ortogonal que contenha o vetor \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right] Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{4} encontre uma base ortogonal que contenha os vetores \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] e \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right]