Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{3} encontre uma base ortogonal que contenha o vetor \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contenha o vetor
\mathbf v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}.
Para isso, vamos completar \mathbf v_1 com dois vetores ortogonais a ele, usando Gram–Schmidt.

Passo 2

Procuramos dois vetores \mathbf w_2 e \mathbf w_3 que satisfaçam
\mathbf v_1\cdot \mathbf w_i =0,\quad i=2,3.
Da equação 1\cdot x + 3\cdot y +5\cdot z=0 podemos escolher, por exemplo,
\mathbf w_2 = \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
pois \mathbf v_1\cdot \mathbf w_2 = -3+3+0=0 e \mathbf v_1\cdot \mathbf w_3 = -5+0+5=0.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a \mathbf w_2,\mathbf w_3 para torná-los ortogonais entre si:
\mathbf u_2 = \mathbf w_2, \qquad \mathbf u_3 = \mathbf w_3 - \frac{\mathbf w_3\cdot\mathbf u_2}{\mathbf u_2\cdot\mathbf u_2}\,\mathbf u_2.
Calculamos
\mathbf w_3\cdot\mathbf u_2 = (-5)(-3)+0\cdot1+1\cdot0 = 15, \quad \mathbf u_2\cdot\mathbf u_2 = (-3)^2+1^2+0^2 = 10,
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\mathbf u_3 = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \frac{15}{10}\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\tfrac{9}{2}\\tfrac{3}{2}\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac12\\\ -\tfrac32\\\ 1\end{pmatrix}.
Multiplicando \mathbf u_3 por 2 (sem perder ortogonalidade) fica
\mathbf u_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Verificações rápidas:
\mathbf v_1\cdot\mathbf u_2=0,
\mathbf v_1\cdot\mathbf u_3=0,
\mathbf u_2\cdot\mathbf u_3=0.
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\{\mathbf v_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^3.

Resposta

\left\{ \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} \right\}.

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