No espaço euclidiano
, defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do
. Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o espaço euclidiano
com duas operações definidas de maneira diferente das operações usuais:
onde
e
. Nossa missão é verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por esse conjunto com as operações
e
.
Para resolver isso, vamos revisar rapidamente o que são os axiomas de um espaço vetorial e, passo a passo, verificar cada um deles com as operações definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os principais axiomas de um espaço vetorial. Existem oito axiomas divididos em duas partes: axiomas de adição vetorial e axiomas de multiplicação escalar. São eles:
Axiomas de Adição Vetorial:
- Comutatividade:
. - Associatividade:
. - Elemento Neutro: Existe um vetor zero
tal que . - Inverso Aditivo: Para todo
, existe tal que .
Axiomas de Multiplicação Escalar:
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores: .
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares: .
7. Compatibilidade Escalar: .
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar: .
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores:
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares:
7. Compatibilidade Escalar:
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar:
Vamos verificar cada axioma com as operações dadas.
Passo 3
1. Comutatividade (
):
Com as operações definidas:
Claramente,
a menos que
, o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
2. Associatividade (
):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como
, a associatividade não é satisfeita.
Passo 5
3. Elemento Neutro (
):
Buscamos um vetor
tal que:
Isso sugere que o vetor zero tradicional funciona como elemento neutro. Portanto, o axioma do elemento neutro é satisfeito.
Passo 6
4. Inverso Aditivo (
):
Com as operações definidas:
Para que
, seria necessário que
, o que só ocorre se
. Portanto, o inverso aditivo não é satisfeito em geral.
Passo 7
5. Distributividade em relação à Adição de Vetores (
):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em
. Portanto, a distributividade em relação à adição de vetores é satisfeita.
Passo 8
6. Distributividade em relação à Adição de Escalares (
):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando, temos
, a menos que
. Portanto, a distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeita.
Passo 9
7. Compatibilidade Escalar (
):
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Aqui,
a menos que
. Portanto, a compatibilidade escalar não é satisfeita.
Passo 10
8. Elemento Neutro da Multiplicação Escalar (
):
Com as operações definidas:
Para que
, seria necessário que
, o que só ocorre se
. Portanto, o axioma do elemento neutro da multiplicação escalar não é satisfeito.
Resposta
Somente os seguintes axiomas são satisfeitos por
:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero
tal que . - Distributividade em relação à Adição de Vetores:
.
Todos os outros axiomas de um espaço vetorial não são satisfeitos pelas operações definidas.