No espaço livre,
. Encontre a potência total que atravessa:
uma placa quadrada de 10 cm de lado no plano
;
uma placa quadrada de 10 cm de lado no plano
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a potência total que atravessa uma placa quadrada de lado
(10 cm) situada no plano
, quando o campo magnético no espaço livre é
.
Informações dadas e constantes calculáveis imediatamente:
- Campo magnético:
A/m. - Lado da placa:
. - Área da placa:
. - O plano da placa é
, cujo vetor normal (não normalizado) é . O versor normal será usado depois. - Estamos em espaço livre, então usaremos a impedância intrínseca do vácuo
(valor numérico ) quando necessário.
Observação importante (sem pedir nada a mais): o enunciado não especifica explicitamente se querem potência instantânea ou potência média no tempo; o usual em problemas de ondas eletromagnéticas é pedir a potência média (valor médio no tempo). Vou calcular a potência média atravessando a placa e, para isso, vou também assumir que o campo pode ser considerado aproximadamente uniforme sobre a pequena placa (10 cm é pequeno comparado à escala típica do problema), de modo que podemos multiplicar o fluxo médio de densidade de potência pela área. Se você preferir a expressão instantânea em função do tempo, eu te mostro também — mas por enquanto calculo a potência média.
Passo 2
Relação entre
e
para uma onda plana em espaço livre e direção de propagação.
Teoria rápida e prática (passo a passo):
- Para uma onda plana no vácuo, os campos
, e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e seguem a regra da mão direita. - A relação de módulo entre
e é , onde é a impedância do vácuo. - Em forma vetorial, para direção de propagação
, pode-se escrever . Aqui é o versor na direção de propagação da onda.
Aplicando ao nosso caso:
- O campo
depende de via , logo a onda se propaga na direção , isto é . - Temos
. Então
- Calcule o produto vetorial:
. Logo
- Em forma explícita:
Passo 3
Cálculo do vetor de Poynting instantâneo
.
Explicação do conceito:
- O vetor de Poynting
dá a densidade de potência instantânea (fluxo de potência por unidade de área) em W/m . Em eletromagnetismo clássico: . - Para uma onda plana,
aponta na direção de propagação (aqui ).
Cálculo:
- Substituindo
e :
- Fatorando
em comum:
- Calculando as constantes:
. E . Assim
Passo 4
Componente de
através da placa (produto escalar com o versor normal da placa).
- O plano da placa é
. Um vetor normal (não unitário) é . O versor normal unitário é
- O fluxo de potência por unidade de área que atravessa a placa é
. Como só tem componente em ,
- Portanto a densidade de potência instantânea atravessando a placa (orientada no sentido do versor
) é
Passo 5
Integração sobre a área da placa e cálculo da potência média.
- A potência instantânea total atravessando a placa seria
-
Aqui
depende de via . O enunciado não fixa a posição exata do quadrado dentro do plano ; porém, seguindo a prática comum em exercícios de ondas e para obter um número concreto, usamos a hipótese razoável de que sobre a área pequena o campo varia pouco (ou que se busca a potência média temporal, onde se usa a média de ). Assim vou calcular a potência média no tempo assumindo que podemos substituir por seu valor médio temporal antes de multiplicar pela área. -
Valor médio temporal de
:
- Logo a densidade média de potência através da placa é
- Multiplicando pela área
obtemos a potência média total:
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Aplicando o fator
(média de ):
- Multiplicando por
:
- Finalmente multiplicando pela área
:
- Em notação mais prática: