No espaço livre, \mathbf{H}=0,2 \cos (\omega t-\beta x) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}. Encontre a potência total que atravessa:
uma placa quadrada de 10 cm de lado no plano x+y=1;

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a potência total que atravessa uma placa quadrada de lado 0,10\\ \mathrm{m} (10 cm) situada no plano x+y=1, quando o campo magnético no espaço livre é \mathbf{H}=0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}.
Informações dadas e constantes calculáveis imediatamente:
  • Campo magnético: \mathbf{H}(x,t)=0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z A/m.
  • Lado da placa: L=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Área da placa: A=L^2=(0,10)^2=0,01\\ \mathrm{m}^2.
  • O plano da placa é x+y=1, cujo vetor normal (não normalizado) é (1,1,0). O versor normal será usado depois.
  • Estamos em espaço livre, então usaremos a impedância intrínseca do vácuo \eta_0 (valor numérico \eta_0\approx 377\\ \Omega) quando necessário.
Observação importante (sem pedir nada a mais): o enunciado não especifica explicitamente se querem potência instantânea ou potência média no tempo; o usual em problemas de ondas eletromagnéticas é pedir a potência média (valor médio no tempo). Vou calcular a potência média atravessando a placa e, para isso, vou também assumir que o campo pode ser considerado aproximadamente uniforme sobre a pequena placa (10 cm é pequeno comparado à escala típica do problema), de modo que podemos multiplicar o fluxo médio de densidade de potência pela área. Se você preferir a expressão instantânea em função do tempo, eu te mostro também — mas por enquanto calculo a potência média.

Passo 2

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} para uma onda plana em espaço livre e direção de propagação.
Teoria rápida e prática (passo a passo):
  • Para uma onda plana no vácuo, os campos \mathbf{E}, \mathbf{H} e o vetor de propagação \hat{k} são mutuamente perpendiculares e seguem a regra da mão direita.
  • A relação de módulo entre \mathbf{E} e \mathbf{H} é \lvert \mathbf{E}\rvert = \eta_0 \lvert \mathbf{H}\rvert, onde \eta_0 é a impedância do vácuo.
  • Em forma vetorial, para direção de propagação \hat{k}, pode-se escrever \mathbf{E} = \eta_0\,\mathbf{H}\times\hat{k}. Aqui \hat{k} é o versor na direção de propagação da onda.
Aplicando ao nosso caso:
  • O campo \mathbf{H} depende de x via \cos(\omega t-\beta x), logo a onda se propaga na direção +x, isto é \hat{k}=\mathbf{a}_x.
  • Temos \mathbf{H}=0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z. Então
\mathbf{E}=\eta_{0}\,\mathbf{H}\times\hat{k} =\eta_{0}\left(0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z\right)\times\mathbf{a}_x.
  • Calcule o produto vetorial: \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_x=\mathbf{a}_y. Logo
\mathbf{E}=\eta_0\cdot 0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_y.
  • Em forma explícita:
\mathbf{E}(x,t)=0,2\,\eta_0\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_y\quad\mathrm{V/m}.

Passo 3

Cálculo do vetor de Poynting instantâneo \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.
Explicação do conceito:
  • O vetor de Poynting \mathbf{S} dá a densidade de potência instantânea (fluxo de potência por unidade de área) em W/m ^2. Em eletromagnetismo clássico: \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.
  • Para uma onda plana, \mathbf{S} aponta na direção de propagação (aqui \mathbf{a}_x).
Cálculo:
  • Substituindo \mathbf{E} e \mathbf{H}:
\mathbf{S}=(0,2\eta_0\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_y)\times(0,2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z).
  • Fatorando 0,2\cos(\omega t-\beta x) em comum:
\mathbf{S}=\eta_0\,(0,2\cos(\omega t-\beta x))^2\;(\mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_z).
  • Calculando as constantes: (0,2)^2=0,04. E \mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_x. Assim
\mathbf{S}(x,t)=\eta_0\cdot 0,04\cos^2(\omega t-\beta x)\;\mathbf{a}_x\quad(\mathrm{W/m^2}).

Passo 4

Componente de \mathbf{S} através da placa (produto escalar com o versor normal da placa).
  • O plano da placa é x+y=1. Um vetor normal (não unitário) é (1,1,0). O versor normal unitário é
\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y\bigr).
  • O fluxo de potência por unidade de área que atravessa a placa é S_n=\mathbf{S}\cdot\hat{n}. Como \mathbf{S} só tem componente em \mathbf{a}_x,
S_n=\left(\eta_0\cdot 0,04\cos^2(\omega t-\beta x)\right)\mathbf{a}_x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y) =\eta_0\cdot 0,04\cos^2(\omega t-\beta x)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Portanto a densidade de potência instantânea atravessando a placa (orientada no sentido do versor \hat{n}) é
S_n(x,t)=\eta_0\;0,04\;\frac{1}{\sqrt{2}}\;\cos^2(\omega t-\beta x)\quad(\mathrm{W/m^2}).

Passo 5

Integração sobre a área da placa e cálculo da potência média.
  • A potência instantânea total atravessando a placa seria
P(t)=\iint_{A} S_n(x,t)\,dS.
  • Aqui S_n depende de x via \cos^2(\omega t-\beta x). O enunciado não fixa a posição exata do quadrado dentro do plano x+y=1; porém, seguindo a prática comum em exercícios de ondas e para obter um número concreto, usamos a hipótese razoável de que sobre a área pequena A=0,01\\ \mathrm{m}^2 o campo varia pouco (ou que se busca a potência média temporal, onde se usa a média de \cos^2). Assim vou calcular a potência média no tempo \overline{P} assumindo que podemos substituir \cos^2(\omega t-\beta x) por seu valor médio temporal \langle\cos^2\rangle = \tfrac{1}{2} antes de multiplicar pela área.
  • Valor médio temporal de \cos^2:
\langle\cos^2(\cdot)\rangle=\frac{1}{2}.
  • Logo a densidade média de potência através da placa é
\langle S_n\rangle=\eta_0\;0,04\;\frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{1}{2}.
  • Multiplicando pela área A=0,01\\ \mathrm{m}^2 obtemos a potência média total:
\overline{P}= \langle S_n\rangle\;A = \eta_0\;0,04\;\frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{1}{2}\;A.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro calcule \eta_0\cdot 0,04:
\eta_0\cdot 0,04 \approx 377\cdot 0,04=15,08\\ (\mathrm{W/m^2}\\ \text{antes de usar médias}).é
  • Aplicando o fator \tfrac{1}{2} (média de \cos^2):
15,08\cdot \tfrac{1}{2}=7,54\\ (\mathrm{W/m^2}).
  • Multiplicando por 1/\sqrt{2}:
7,54\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=7,54\cdot 0,707106\ldots\approx 5,333\\ (\mathrm{W/m^2}).
  • Finalmente multiplicando pela área A=0,01\\ \mathrm{m}^2:
\overline{P}=5,333\cdot 0,01\approx 0,05333\\ \mathrm{W}.
  • Em notação mais prática: \overline{P}\approx 5,33\times 10^{-2}\\ \mathrm{W}=53,3\\ \mathrm{mW}.

Resposta

5,33\times 10^{-2}\\ \mathrm{W}

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