03(2,0) - Considere uma onda eletromagnética se propagando num meio material com perdas. Dado o material com \sigma=0,100 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon_{\mathrm{r}}=9,00 e \mu_{\mathrm{r}}=1,00 e uma onda \operatorname{com} f=15,00 \mathrm{GHz}.
(a) Calcular \gamma, \alpha, \beta e \eta.
(b) Considerando a amplitude do campo elétrico 10 \pi \mathrm{~V} / \mathrm{m} em \mathrm{z}=0. Determine \mathbf{E}(z, t) e \mathbf{H}(z, t)
(c) Qual o valor da amplitude do campo elétrico para \mathrm{z}=1 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado trata de uma onda eletromagnética plana que se propaga no sentido +z dentro de um meio com perdas elétricas, cujos parâmetros são
\sigma = 0{,}100\\ \mathrm{S/m},\quad \varepsilon_r = 9{,}00,\quad \mu_r = 1{,}00,
e a frequência é f = 15{,}00\\ \mathrm{GHz}.
Conteúdo: constante de propagação \gamma, coeficientes \alpha e \beta, impedância intrínseca \eta, campos no domínio do tempo e decaimento da amplitude.

Passo 2

Calcular as quantidades básicas
\omega = 2\pi f,\quad \varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_r,\quad \mu = \mu_0\,\mu_r.
Sabendo que \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m},
\omega = 2\pi\,(15\times10^9) = 9{,}4248\times10^{10}\,\mathrm{rad/s},\quad \varepsilon = 8{,}854\times10^{-12}\times9 = 7{,}9686\times10^{-11}\,\mathrm{F/m},
\mu = 4\pi\times10^{-7}\times1 = 1{,}2566\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}.

Passo 3

Usar a fórmula geral da constante de propagação
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{\,j\omega\mu\,( \sigma + j\omega\varepsilon)\,}\,,
e as expressões fechadas para \alpha e \beta em meio levemente dissipativo:
\alpha = \frac{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\sqrt{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}-1},
\beta = \frac{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\sqrt{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}+1}.
Primeiro calcule o parâmetro
\displaystyle A=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=0{,}01332.
Depois
\alpha \approx 6{,}29\\ \mathrm{Np/m}, \quad \beta \approx 943{,}5\\ \mathrm{rad/m},
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\gamma \approx 6{,}29 + j\,943{,}5\quad(\mathrm{m}^{-1}).

Passo 4

Calcular a impedância intrínseca
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}.
Em meio de baixa perda usa-se a aproximação
\eta \approx \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \Bigl(1 - j\,\frac{\sigma}{2\,\omega\varepsilon}\Bigr) =125{,}6\,(1 - j\,0{,}00666)\\ \Omega,
ou seja,
\eta \approx 125{,}6 - j\,0{,}84\\ \Omega.

Passo 5

Resposta do item (a):
\gamma \approx 6{,}29 + j\,943{,}5\\ \mathrm{m}^{-1},\quad \alpha \approx 6{,}29\\ \mathrm{Np/m},\quad \beta \approx 943{,}5\\ \mathrm{rad/m},\quad \eta \approx 125{,}6 - j\,0{,}84\\ \Omega.

Passo 6

Para (b), o fasor do campo elétrico é
\tilde{\mathbf{E}}(z) = E_0\,e^{-\gamma z}\,\hat{\mathbf{x}},
com E_0=10\pi V/m em z=0.
No domínio do tempo:
\mathbf{E}(z,t) = \Re\bigl\{\tilde{\mathbf{E}}(z)\,e^{j\omega t}\bigr\} = 10\pi\,e^{-\alpha z}\cos\bigl(\omega t - \beta z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}}.
O campo magnético fasorial é
\tilde{\mathbf{H}}(z)=\tilde{\mathbf{E}}(z)/\eta\,\hat{\mathbf{y}},
logo no tempo:
\mathbf{H}(z,t) = \Re\bigl\{\tilde{\mathbf{H}}(z)\,e^{j\omega t}\bigr\} = \frac{10\pi}{|\eta|}\,e^{-\alpha z}\cos\!\Bigl(\omega t - \beta z + \varphi_\eta\Bigr)\,\hat{\mathbf{y}},
onde \varphi_\eta=\arg(\eta)\approx -0{,}00666\\ \mathrm{rad} e |\eta|\approx125{,}6\\ \Omega.

Passo 7

Para (c), a amplitude de \mathbf{E} em z=1 m é
E_{\max}(1) = 10\pi\,e^{-\alpha\cdot1} = 10\pi\,e^{-6{,}29} \approx 31{,}42\times0{,}00184 \approx 0{,}058\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

(a)
\displaystyle \gamma\approx6{,}29 + j\,943{,}5\\ \mathrm{m}^{-1},\\ \alpha\approx6{,}29\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx943{,}5\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx125{,}6 - j\,0{,}84\\ \Omega.
(b)
\displaystyle \mathbf{E}(z,t) =10\pi\,e^{-6{,}29\,z}\cos\bigl(9{,}4248\times10^{10}\,t - 943{,}5\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}},
\displaystyle \mathbf{H}(z,t) =\frac{10\pi}{125{,}6}\,e^{-6{,}29\,z}\cos\bigl(9{,}4248\times10^{10}\,t - 943{,}5\,z -0{,}00666\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.
(c)
\displaystyle E_{\max}(1\\ \mathrm{m})\approx0{,}058\\ \mathrm{V/m}.

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