O que é uma linha de fluxo elétrico? Esboce a linha de fluxo devido ao campo
E=2 cos thetar^3 ar+sen thetar^3 a theta \
que passa no ponto (4, pi / 4, pi / 2). Determinar o vetor tangencial à linha nesse ponto.

Passo 1

O enunciado pede para entender o que é uma linha de fluxo elétrico (linha de campo), esboçar a que passa por (r,theta,phi)=(4,pi/4,pi/2) no campo
E=2costhetar^3ar+sinthetar^3atheta
e, por fim, determinar o vetor tangente a essa linha naquele ponto. Vamos usar integral de curvas em coordenadas esféricas e o fato de que a linha de campo satisfaz
drds;|;E,

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um elemento de linha é
dr=dr,ar+r,dtheta,atheta+rsintheta,dphi,aphi
Como dr/dsparal<=lE, igualamos as três razões
drEr=r,dthetaEtheta=rsintheta,dphiEphi
Aqui Ephi=0, logo dphi=0 e a linha fica em phi=pi/2 constante.

Passo 3

Para dr/Er=r,dtheta/Etheta temos
dr2costheta/r^3=r,dthetasintheta/r^3 Longrightarrow r^3,dr2costheta=r^4,dthetasintheta Longrightarrow drr=2cottheta,dtheta

Passo 4

Integrando
integraldrr=integral2cottheta,dtheta Longrightarrow ln r=2ln(sintheta)+ln C Longrightarrow r=C,sin^2theta
Impondo a passagem por (r,theta)=(4,pi/4), temos sin^2(pi/4)=1/2, logo
4=Ccdot12 Longrightarrow C=8 Longrightarrow r=8sin^2theta, phi=pi2

Passo 5

Esse é o esboço da linha de campo no plano meridiano phi=pi/2: uma curva que nasce infinitamente de rtoinfty, atinge r=8sin^2theta, passa por (4,pi/4) e volta a infty quando thetato0,pi.

Passo 6

O vetor tangente a uma linha de campo é paralelo a E. Basta avaliar E em (r,theta,phi)=(4,pi/4,pi/2). Como cos(pi/4)=sin(pi/4)=tfracraiz22 e r^3=64,
Er=2costhetar^3=2,( tfracraiz22 )64=raiz264, Etheta=sinthetar^3=tfracraiz2264=raiz2128
Logo
t ;propto;E|(4,pi/4) =raiz264,ar +raiz2128,atheta

Resposta

A linha de fluxo é a integral de E que satisfaz
r=8sin^2theta,phi=pi2
O vetor tangente a essa linha no ponto dado é
t = raiz264,ar +raiz2128,atheta,
ou qualquer múltiplo escalar não nulo desse vetor.

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