Um espaço métrico (
) cujos pontos são todos isolados chama-se espaço discreto.
(a) Mostre que
com a métrica induzida pela usual de
é discreto.
(b) Mostre que a métrica de um espaço discreto é equivalente à zero-um.
(a) Mostre que
(b) Mostre que a métrica de um espaço discreto é equivalente à zero-um.
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas:
-
Parte (a): Mostrar que o conjunto [A=\left{\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},···\right}) com a métrica induzida da reta usual
é um espaço discreto. Ou seja, para cada ponto de devemos encontrar uma bola aberta (na métrica usual) que contém esse ponto e nenhum outro ponto de . -
Parte (b): Mostrar que, em geral, a métrica de um espaço discreto é equivalente à métrica zero-um (também chamada métrica discreta): a métrica
definida por
Ou seja, as duas métricas geram a mesma topologia (mesmos conjuntos abertos).
Informações relevantes dadas:
- Em (a) os pontos de
para
, com a métrica restrita a . - Definição usada: um ponto
é isolado se existe tal que a bola aberta intersecta o espaço apenas em . Um espaço é discreto se todos os seus pontos são isolados.]
Passo 2
Vou explicar de forma suave os conceitos que vamos usar (aquelas “ferramentas” que você precisa entender pra aplicar na prova).
- Bola aberta em uma métrica
: para e ,
No caso da métrica usual em
,
.
- Ponto isolado:
é isolado em um subespaço se existe com
Na prática: existe uma pequena vizinhança de
que não contém nenhum outro ponto do conjunto
.
-
Espaço discreto: todos os pontos são isolados. Consequência útil: em um espaço discreto, todo singleton
é aberto. -
Métrica zero-um (discreta): dá distância
só quando os pontos coincidem; caso contrário a distância é . Essa métrica produz a topologia discreta (toda parte é aberta), porque para cada a bola .
A ideia para (a) será escrever os elementos de
como uma sequência
, calcular diferenças entre elementos e, para cada
, escolher um raio pequeno que exclua os demais pontos. Para (b) mostraremos que, em um espaço discreto, cada singleton é aberto na métrica original, e isso coincide com a topologia gerada pela métrica zero-um.
Passo 3
Começando (a): vamos parametrizar
. Defina, para cada
(aqui tomo
),
Observações fáceis: a sequência
é estritamente crescente e todos os termos estão em
. Agora calcule a diferença entre dois termos quaisquer com
:
Em particular, para pontos adjacentes
temos
Passo 4
Para um
fixo, queremos um raio
tal que
. Note que, por monotonia, a diferença mínima entre
e qualquer outro ponto de
ocorre com um dos vizinhos imediatos
ou
(se existirem). Calculamos ambas as diferenças:
- Se
,
- E
Comparando, a menor dessas duas é
porque
. (Para
só existe o vizinho à direita e a mesma expressão para
vale.)
Escolhemos então
Vou mostrar que essa escolha funciona: se
então
logo
porque precisaria de
. Se
então
portanto também
. Assim nenhum
com
fica dentro de
. Consequentemente
Passo 5
Concluímos a parte (a): para cada
existe
com
. Logo todo ponto de
é isolado e, portanto,
com a métrica induzida é um espaço discreto.
Passo 6
Agora a parte (b): queremos mostrar que, se
é um espaço discreto (ou seja, todo ponto é isolado), então a métrica
é equivalente à métrica zero-um
no sentido de que ambas geram a mesma topologia.
Argumento direto e simples usando singletons abertos:
- Por hipótese, para cada
existe tal que
Isto mostra que todo singleton
é aberto na topologia induzida por
. Como qualquer subconjunto de
é união de singletons, segue que toda parte de
é aberta na topologia de
. Portanto a topologia de
é a topologia discreta (toda parte é aberta).
- A métrica zero-um
também gera a topologia discreta, porque para cada
Logo toda parte de
é aberta na topologia de
.
Como ambas métricas geram a mesma topologia (a topologia discreta), são métricas equivalentes (topologicamente equivalentes).
Uma alternativa ligeiramente mais “formal”: a identidade
é contínua porque a imagem inversa de cada bola
é
, que é aberta em
por hipótese; o inverso
é contínuo pela mesma razão, portanto as topologias coincidem.
Resposta
(a)
é discreto.
(b) A métrica de um espaço discreto é equivalente (topologicamente equivalente) à métrica zero-um.
(b) A métrica de um espaço discreto é equivalente (topologicamente equivalente) à métrica zero-um.