Um espaço métrico ( M, d ) cujos pontos são todos isolados chama-se espaço discreto.
(a) Mostre que A=\left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots\right\} com a métrica induzida pela usual de \mathbb{R} é discreto.
(b) Mostre que a métrica de um espaço discreto é equivalente à zero-um.

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas:
  • Parte (a): Mostrar que o conjunto [A=\left{\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},\tfrac{3}{4},···\right}) com a métrica induzida da reta usual \mathbb{R} é um espaço discreto. Ou seja, para cada ponto de A devemos encontrar uma bola aberta (na métrica usual) que contém esse ponto e nenhum outro ponto de A.
  • Parte (b): Mostrar que, em geral, a métrica de um espaço discreto é equivalente à métrica zero-um (também chamada métrica discreta): a métrica d_{01} definida por
d_{01}(x,y)=\begin{cases} 0, & \text{se } x=y,\\[4pt] 1, & \text{se } x\neq y. \end{cases}
Ou seja, as duas métricas geram a mesma topologia (mesmos conjuntos abertos).
Informações relevantes dadas:
  • Em (a) os pontos de A\] são exatamente \(\tfrac{n}{n+1} para n\in\mathbb{N}, com a métrica d(x,y)=|x-y| restrita a A.
  • Definição usada: um ponto x é isolado se existe r>0 tal que a bola aberta B(x,r) intersecta o espaço apenas em \{x\}. Um espaço é discreto se todos os seus pontos são isolados.]

Passo 2

Vou explicar de forma suave os conceitos que vamos usar (aquelas “ferramentas” que você precisa entender pra aplicar na prova).
  • Bola aberta em uma métrica d: para x e r>0,
B_d(x,r)=\{y \mid d(x,y)<r\}.
No caso da métrica usual em \mathbb{R}, B(x,r)=(x-r,x+r).
  • Ponto isolado: x é isolado em um subespaço S se existe r>0 com
B_d(x,r)\cap S=\{x\}.
Na prática: existe uma pequena vizinhança de x que não contém nenhum outro ponto do conjunto S.
  • Espaço discreto: todos os pontos são isolados. Consequência útil: em um espaço discreto, todo singleton \{x\} é aberto.
  • Métrica zero-um (discreta): dá distância 0 só quando os pontos coincidem; caso contrário a distância é 1. Essa métrica produz a topologia discreta (toda parte é aberta), porque para cada x a bola B_{d_{01}}(x,1/2)=\{x\}.
A ideia para (a) será escrever os elementos de A como uma sequência a_n=\tfrac{n}{n+1}, calcular diferenças entre elementos e, para cada n, escolher um raio pequeno que exclua os demais pontos. Para (b) mostraremos que, em um espaço discreto, cada singleton é aberto na métrica original, e isso coincide com a topologia gerada pela métrica zero-um.

Passo 3

Começando (a): vamos parametrizar A. Defina, para cada n\in\mathbb{N} (aqui tomo \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}),
a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Observações fáceis: a sequência (a_n) é estritamente crescente e todos os termos estão em (0,1). Agora calcule a diferença entre dois termos quaisquer com m>n:
a_m-a_n=\frac{m}{m+1}-\frac{n}{n+1}=\frac{m-n}{(m+1)(n+1)}.
Em particular, para pontos adjacentes m=n+1 temos
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)}.

Passo 4

Para um n fixo, queremos um raio r_n>0 tal que B(a_n,r_n)\cap A=\{a_n\}. Note que, por monotonia, a diferença mínima entre a_n e qualquer outro ponto de A ocorre com um dos vizinhos imediatos a_{n-1} ou a_{n+1} (se existirem). Calculamos ambas as diferenças:
  • Se n\ge 2,
a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n(n+1)}.
  • E
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Comparando, a menor dessas duas é
\min\{a_n-a_{n-1},\,a_{n+1}-a_n\}=\frac{1}{(n+1)(n+2)},
porque \frac{1}{(n+1)(n+2)}<\frac{1}{n(n+1)}. (Para n=1 só existe o vizinho à direita e a mesma expressão para a_{2}-a_1 vale.)
Escolhemos então
r_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2(n+1)(n+2)}.
Vou mostrar que essa escolha funciona: se m>n então
a_m-a_n\ge a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=2r_n,
logo a_m\notin B(a_n,r_n) porque precisaria de |a_m-a_n|<r_n. Se m<n então
a_n-a_m\ge a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n(n+1)}>\frac{1}{(n+1)(n+2)}=2r_n,
portanto também a_m\notin B(a_n,r_n). Assim nenhum a_m com m\neq n fica dentro de B(a_n,r_n). Consequentemente
B(a_n,r_n)\cap A=\{a_n\}.

Passo 5

Concluímos a parte (a): para cada n existe r_n>0 com B(a_n,r_n)\cap A=\{a_n\}. Logo todo ponto de A é isolado e, portanto, A com a métrica induzida é um espaço discreto.

Passo 6

Agora a parte (b): queremos mostrar que, se (M,d) é um espaço discreto (ou seja, todo ponto é isolado), então a métrica d é equivalente à métrica zero-um d_{01} no sentido de que ambas geram a mesma topologia.
Argumento direto e simples usando singletons abertos:
  • Por hipótese, para cada x\in M existe r_x>0 tal que
B_d(x,r_x)=\{x\}.
Isto mostra que todo singleton \{x\} é aberto na topologia induzida por d. Como qualquer subconjunto de M é união de singletons, segue que toda parte de M é aberta na topologia de d. Portanto a topologia de d é a topologia discreta (toda parte é aberta).
  • A métrica zero-um d_{01} também gera a topologia discreta, porque para cada x
B_{d_{01}}(x,\tfrac{1}{2})=\{x\}.
Logo toda parte de M é aberta na topologia de d_{01}.
Como ambas métricas geram a mesma topologia (a topologia discreta), são métricas equivalentes (topologicamente equivalentes).
Uma alternativa ligeiramente mais “formal”: a identidade id:(M,d)\to(M,d_{01}) é contínua porque a imagem inversa de cada bola B_{d_{01}}(x,\tfrac{1}{2})=\{x\} é \{x\}, que é aberta em (M,d) por hipótese; o inverso id^{-1} é contínuo pela mesma razão, portanto as topologias coincidem.

Resposta

(a) A é discreto.
(b) A métrica de um espaço discreto é equivalente (topologicamente equivalente) à métrica zero-um.

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