Seja
uma sequência em
. Se
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma conclusão clara:
- Temos uma sequência
em . - A subsequência dos termos de índice par
converge para um ponto . - A subsequência dos termos de índice ímpar
também converge para o mesmo ponto .
Pedido: mostrar que a sequência inteira
converge para
.
Passo 2
Vamos escrever de forma precisa a definição de convergência que vamos usar (é a definição padrão em espaços métricos, que é suficiente aqui):
Definição de convergência: dizer que
converge para
significa que
onde
é a distância em
. Em palavras: dados quaisquer
, a partir de algum índice
todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio
centrada em
.
Explicação curta: essa definição dá um critério verificável com
e
. A estratégia será, dado um
, usar a convergência das duas subsequências para encontrar índices a partir dos quais tanto os termos pares quanto os ímpares ficam a menos de
de
, e então combinar esses índices para obter um
que funciona para todos os
.
Passo 3
Use a convergência da subsequência dos termos pares. Por hipótese:
Pelo significado da convergência: dado
existe
tal que, para todo
,
Convertendo isso em uma condição sobre o índice
original: se
é par, escrevemos
; a desigualdade acima diz que para todo
par com
temos
.
Passo 4
Use a convergência da subsequência dos termos ímpares. Por hipótese:
Pelo significado da convergência: dado
existe
tal que, para todo
,
Convertendo para o índice
: se
é ímpar, escrevemos
; então para todo
ímpar com
temos
.
Passo 5
Agora combinamos as duas informações para obter um único
que funciona para todos os índices
. Defina
Mostramos que esse
serve: tome qualquer
. Há duas possibilidades:
- Se
é par, então , logo implica (pela escolha de ). - Se
é ímpar, então , logo implica (pela escolha de ).
Portanto, em ambos os casos, para todo
temos
.
Passo 6
Como a escolha de
foi arbitrária, mostramos exactamente o que a definição de convergência pede: para todo
existe
(o
que construímos) tal que, para todo
,
. Logo concluímos que
Comentário final e exemplo intuitivo: pense numa sequência que alterna entre dois ramos (pares e ímpares). Se ambos os ramos vão para o mesmo ponto
, então quando você for suficientemente à frente na sequência — independentemente de ser posição par ou ímpar — o termo estará perto de
. Exemplo concreto:
. Os pares e ímpares convergem para
; por isso toda a sequência converge para
.