Seja \left(x_{n}\right) uma sequência em M. Se \left(x_{2}, x_{4}, x_{6}, \ldots\right) \rightarrow p e \left(x_{1}, x_{3}, x_{5}, \ldots\right) \rightarrow p, mostre que \left(x_{n}\right) \rightarrow p.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma conclusão clara:
  • Temos uma sequência \left(x_{n}\right) em M.
  • A subsequência dos termos de índice par \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots\right) converge para um ponto p.
  • A subsequência dos termos de índice ímpar \left(x_{1},x_{3},x_{5},\ldots\right) também converge para o mesmo ponto p.
Pedido: mostrar que a sequência inteira \left(x_{n}\right) converge para p.

Passo 2

Vamos escrever de forma precisa a definição de convergência que vamos usar (é a definição padrão em espaços métricos, que é suficiente aqui):
Definição de convergência: dizer que \left(x_{n}\right) converge para p significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\; d(x_n,p)<\varepsilon,
onde d é a distância em M. Em palavras: dados quaisquer \varepsilon>0, a partir de algum índice N todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio \varepsilon centrada em p.
Explicação curta: essa definição dá um critério verificável com \varepsilon e N. A estratégia será, dado um \varepsilon>0, usar a convergência das duas subsequências para encontrar índices a partir dos quais tanto os termos pares quanto os ímpares ficam a menos de \varepsilon de p, e então combinar esses índices para obter um N que funciona para todos os n.

Passo 3

Use a convergência da subsequência dos termos pares. Por hipótese:
\left(x_{2k}\right)_{k=1}^{\infty}\to p.
Pelo significado da convergência: dado \varepsilon>0 existe K_1\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K_1,
d\big(x_{2k},p\big)<\varepsilon.
Convertendo isso em uma condição sobre o índice n original: se n é par, escrevemos n=2k; a desigualdade acima diz que para todo n par com n\ge 2K_1 temos d(x_n,p)<\varepsilon.

Passo 4

Use a convergência da subsequência dos termos ímpares. Por hipótese:
\left(x_{2k-1}\right)_{k=1}^{\infty}\to p.
Pelo significado da convergência: dado \varepsilon>0 existe K_2\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K_2,
d\big(x_{2k-1},p\big)<\varepsilon.
Convertendo para o índice n: se n é ímpar, escrevemos n=2k-1; então para todo n ímpar com n\ge 2K_2-1 temos d(x_n,p)<\varepsilon.

Passo 5

Agora combinamos as duas informações para obter um único N que funciona para todos os índices n. Defina
N:=\max\big(2K_1,\;2K_2-1\big).
Mostramos que esse N serve: tome qualquer n\ge N. Há duas possibilidades:
  • Se n é par, então n\ge N\ge 2K_1, logo n\ge 2K_1 implica d(x_n,p)<\varepsilon (pela escolha de K_1).
  • Se n é ímpar, então n\ge N\ge 2K_2-1, logo n\ge 2K_2-1 implica d(x_n,p)<\varepsilon (pela escolha de K_2).
Portanto, em ambos os casos, para todo n\ge N temos d(x_n,p)<\varepsilon.

Passo 6

Como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária, mostramos exactamente o que a definição de convergência pede: para todo \varepsilon>0 existe N (o \max que construímos) tal que, para todo n\ge N, d(x_n,p)<\varepsilon. Logo concluímos que
\left(x_{n}\right)\to p.
Comentário final e exemplo intuitivo: pense numa sequência que alterna entre dois ramos (pares e ímpares). Se ambos os ramos vão para o mesmo ponto p, então quando você for suficientemente à frente na sequência — independentemente de ser posição par ou ímpar — o termo estará perto de p. Exemplo concreto: x_n=p+(-1)^n/n. Os pares e ímpares convergem para p; por isso toda a sequência converge para p.

Resposta

\left(x_{n}\right)\to p

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