Seja M um espaço métrico. Se uma sequência ( x_{n} ) de pontos de M converge em M, mostre que a sequência real \left(d\left(x_{1}, p\right), d\left(x_{2}, p\right) \ldots\right) converge para 0 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
Dado um espaço métrico M com métrica d, existe uma sequência de pontos \left(x_{n}\right) em M que converge para um ponto p\in M. O que devemos provar é que a sequência real
\left(d\left(x_{1},p\right),d\left(x_{2},p\right),\ldots\right)
converge para 0.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma e sem pular etapas, o que significa que \left(x_{n}\right) converge para p em um espaço métrico.
Por definição, \lim_{n\to\infty} x_{n}=p significa: para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
d(x_{n},p)<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é um número real positivo que eu escolho arbitrariamente (pode ser 0{,}1, 10^{-3}, etc.), e a definição garante um ponto a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio \varepsilon centrada em p.

Passo 3

Agora observe que d(x_{n},p) é um número real não negativo (propriedade básica de métrica: d(\cdot,\cdot)\ge 0). Para mostrar que a sequência real a_{n}=d(x_{n},p) converge para 0 precisamos verificar a definição usual de limite em \mathbb{R}: para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N vale
|a_{n}-0|<\varepsilon.
Mas a_{n}=d(x_{n},p)\ge 0, então |a_{n}-0|=|d(x_{n},p)|=d(x_{n},p). Logo a condição acima fica exatamente
d(x_{n},p)<\varepsilon.

Passo 4

Como usamos a definição de convergência de \left(x_{n}\right) para p no Passo 2, sabemos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N temos d(x_{n},p)<\varepsilon. Comparando com a condição do Passo 3, isso mostra que, para esse mesmo N, para todo n\ge N temos |d(x_{n},p)-0|<\varepsilon. Portanto, \lim_{n\to\infty} d(x_{n},p)=0.

Passo 5

Intuição rápida para fixar: a convergência x_{n}\to p diz que os pontos x_{n} se aproximam de p. A distância entre x_{n} e p é exatamente uma medida numérica dessa aproximação, então é natural (e agora provado rigorosamente) que essas distâncias tendam a zero. Um exemplo concreto: em \mathbb{R} com a métrica usual, se x_{n}=1/n então x_{n}\to 0 e d(x_{n},0)=|1/n-0|=1/n\to 0.

Resposta

0

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