Seja
um espaço métrico. Se uma sequência (
) de pontos de
converge em
, mostre que a sequência real
converge para 0 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
Dado um espaço métrico com métrica
, existe uma sequência de pontos
em
que converge para um ponto
. O que devemos provar é que a sequência real
converge para .
Dado um espaço métrico
converge para
Passo 2
Vamos lembrar, com calma e sem pular etapas, o que significa que
converge para
em um espaço métrico.
Por definição, significa: para todo
existe um inteiro
tal que, para todo
,
Por definição,
Aqui
é um número real positivo que eu escolho arbitrariamente (pode ser
,
, etc.), e a definição garante um ponto a partir do qual todos os termos da sequência ficam dentro da bola de raio
centrada em
.
Passo 3
Agora observe que
é um número real não negativo (propriedade básica de métrica:
). Para mostrar que a sequência real
converge para
precisamos verificar a definição usual de limite em
: para todo
existe
tal que para todo
vale
Mas
, então
. Logo a condição acima fica exatamente
Passo 4
Como usamos a definição de convergência de
para
no Passo 2, sabemos que para todo
existe
tal que para todo
temos
. Comparando com a condição do Passo 3, isso mostra que, para esse mesmo
, para todo
temos
. Portanto,
.
Passo 5
Intuição rápida para fixar: a convergência
diz que os pontos
se aproximam de
. A distância entre
e
é exatamente uma medida numérica dessa aproximação, então é natural (e agora provado rigorosamente) que essas distâncias tendam a zero. Um exemplo concreto: em
com a métrica usual, se
então
e
.