O espaço vetorial no corpo dos números complexos para um bit-quântico possui a base B=|0rang<=,|1rang<=. Esse espaço vetorial pode ser representado pelo conjunto das matrizes complexas 2 times 1 na qual:
|0rang<==binom01, |1rang<==binom10
Considere o conjunto S=|-rang<=,|+rang<=, no qual:
a) Utilize a representação matricial para |0rang<=,|1rang<=,|+rang<= e |-rang<= e mostre que S também forma uma base para esse espaço vetorial.
b) Agora utilize apenas a representação abstrata de |0rang<=,|1rang<=,|-rang<= e |+rang<= e mostre que S=|-rang<=,|+rang<= forma uma base para esse espaço vetorial.
Sugestão: Verifique que S é L.I. e é igual a >=r(B). Para isso trabalhe com a expressão a1|-rang<=+a2|+rang<==b sem substituíla por matrizes, use apenas as definições (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais no contexto de bits-quânticos, usando números complexos. A base inicial que temos é B = |0rang<=, |1rang<=, representada por matrizes 2 times 1. Precisamos mostrar que o conjunto S = |-rang<=, |+rang<= também forma uma base para esse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, representação matricial e verificar se S é linearmente independente e se gera todo o espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as representações matriciais dos vetores. No exercício, já temos:
|0rang<= = 0 1 , |1rang<= = 1 0
E também precisamos das representações de |+rang<= e |-rang<=. Geralmente, em qubits, temos:
|+rang<= = 1raiz2(|0rang<= + |1rang<=) = 1raiz2 1 1
|-rang<= = 1raiz2(|0rang<= - |1rang<=) = 1raiz2 -1 1

Passo 3

Agora, para mostrar que S forma uma base, precisamos verificar se os vetores em S são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço vetorial. Vamos começar verificando a independência linear.

Passo 4

Para verificar a independência linear, assumimos que uma combinação linear dos vetores de S resulta no vetor zero:
a1 |-rang<= + a2 |+rang<= = 0 0
Substituindo os vetores:
a1 1raiz2 -1 1 + a2 1raiz2 1 1 = 0 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
1raiz2 -a1 + a2 a1 + a2 = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
-a1 + a2 = 0
a1 + a2 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: a2 = a1
Substituindo na segunda: a1 + a1 = 0 Rightarrow 2a1 = 0 Rightarrow a1 = 0
Então, a2 = 0
Isso mostra que a única solução é a trivial, ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como S tem dois vetores e são linearmente independentes, e o espaço vetorial original também tem dimensão 2 (já que a base B tem dois vetores), concluímos que S gera todo o espaço vetorial. Portanto, S é uma base para o espaço vetorial.

Resposta

Através da representação matricial e verificando a independência linear, mostramos que o conjunto S = |-rang<=, |+rang<= forma uma base para o espaço vetorial dos bits-quânticos sobre números complexos.

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