O espaço vetorial no corpo dos números complexos para um bit-quântico possui a base
. Esse espaço vetorial pode ser representado pelo conjunto das matrizes complexas
na qual:
Considere o conjunto
, no qual:
a) Utilize a representação matricial para
e
e mostre que
também forma uma base para esse espaço vetorial.
b) Agora utilize apenas a representação abstrata de
e
e mostre que
forma uma base para esse espaço vetorial.
Sugestão: Verifique que
é L.I. e é igual a
. Para isso trabalhe com a expressão
sem substituíla por matrizes, use apenas as definições (1).
a) Utilize a representação matricial para
b) Agora utilize apenas a representação abstrata de
Sugestão: Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais no contexto de bits-quânticos, usando números complexos. A base inicial que temos é
, representada por matrizes
. Precisamos mostrar que o conjunto
também forma uma base para esse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, representação matricial e verificar se
é linearmente independente e se gera todo o espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as representações matriciais dos vetores. No exercício, já temos:
E também precisamos das representações de
e
. Geralmente, em qubits, temos:
Passo 3
Agora, para mostrar que
forma uma base, precisamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço vetorial. Vamos começar verificando a independência linear.
Passo 4
Para verificar a independência linear, assumimos que uma combinação linear dos vetores de
resulta no vetor zero:
Substituindo os vetores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Isso mostra que a única solução é a trivial, ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como
tem dois vetores e são linearmente independentes, e o espaço vetorial original também tem dimensão 2 (já que a base
tem dois vetores), concluímos que
gera todo o espaço vetorial. Portanto,
é uma base para o espaço vetorial.
Resposta
Através da representação matricial e verificando a independência linear, mostramos que o conjunto
forma uma base para o espaço vetorial dos bits-quânticos sobre números complexos.